Ñandú - Nacional - 2018 - Nivel 3 - Problema 1

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Pirógeno

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Ñandú - Nacional - 2018 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Pirógeno » Vie 27 Sep, 2019 4:12 pm

Juan tiene fichas de 4 tipos B, N, A y R guardadas en tres cajas numeradas I, II y III.
La caja II tiene 50% más de fichas que la caja I y la caja III tiene 30% menos de fichas que la caja II.
Entre las cajas I y III hay 4920 fichas en total.
La cantidad total de fichas A y R es igual a la cantidad de fichas que hay en la caja III.
Las fichas B se reparten en partes iguales entre las tres cajas.
Las fichas N se reparten en partes iguales entre las tres cajas.
En las cajas I y III hay igual cantidad de fichas A.
En la caja II la cantidad de fichas R es 60% de la cantidad de fichas A.
Entre las fichas A, R y N hay un total de 6300.
La cantidad total de fichas R es $\frac{2}{3}$ de la cantidad total de fichas A.
¿Cuántas fichas hay en cada caja? ¿Cuántas fichas hay en total de cada tipo?
¿Cuántas fichas R hay en cada caja?

Pirógeno

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Re: Ñandú - Nacional - 2018 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Pirógeno » Mar 01 Oct, 2019 12:13 pm

Primero voy a pasar los datos del problema a ecuaciones.
La caja II tiene 50% más de fichas que la caja I
I = 100x
II = 150x
y la caja III tiene 30% menos de fichas que la caja II
III = 150x - 45x = 105x
Entre las cajas I y III hay 4920 fichas en total.
I + III = 100x + 105x = 205x = 4920
x = $\frac{4920}{205}$
x = 24
I = 100x = 2400
II = 150x = 3600
III = 105x = 2520
I + II + III = 2400 + 3600 + 2520 = 8520
Otra manera de plantearlo puede ser:
I = I
II = I + $\frac{1}{2}$I = $\frac{3}{2}$I
III = II - $\frac{30}{100}$II = $\frac{7}{10}$II
y reemplazo II por su valor $\frac{3}{2}$I
III = $\frac{7}{10}$ $\frac{3}{2}$I = $\frac{21}{20}$I
I + III = I + $\frac{21}{20}$I = $\frac{41}{20}$I = 4920
I = $\frac{20}{41}$ 4920 = 2400;
II = $\frac{3}{2}$ 2400 = 3600;
III = $\frac{21}{20}$ 2400 = 2520
La cantidad total de fichas A y R es igual a la cantidad de fichas que hay en la caja III
A + R = 2520
Las fichas B se reparten en partes iguales entre las tres cajas.
B$_I$ = B$_{II}$ = B$_{III}$
Las fichas N se reparten en partes iguales entre las tres cajas.
N$_I$ = N$_{II}$ = N$_{III}$
En las cajas I y III hay igual cantidad de fichas A.
A$_I$ = A$_{III}$
En la caja II la cantidad de fichas R es 60% de la cantidad de fichas A.
R$_{II}$ = $\frac{60}{100}$ A$_{II}$ = $\frac{3}{5}$ A$_{II}$
Entre las fichas A, R y N hay un total de 6300.
A + R + N = 6300
Como I + II + III = 8520 = A + R + N + B, entonces B = 8520 - 6300 = 2220
Como A + R = 2520, entonces N = 6300 + 2520 = 3780
La cantidad total de fichas R es $\frac{2}{3}$ de la cantidad total de fichas A.
R= $\frac{2}{3}$ A
Como me conviene "fabricar" ecuaciones con una sola incógnita, busco otra ecuación que tenga sólo las incógnitas R y A, y reemplazo la R por su valor en la ecuación anterior, y queda:
A + R = 2520
A + $\frac{2}{3}$ A = 2520
$\frac{5}{3}$ A = 2520
A = $\frac{3}{5}$ 2520 = 1512
R = $\frac{2}{3}$ 1512 = 1008
B = 2220
N = 3780
A + R + N + B = 1512 + 1008 + 2220 + 3780 = 8520
Cuántas fichas R hay en cada caja?
Repaso todos los datos que tengo:
B$_I$ = B$_{II}$ = B$_{III}$ = $\frac{2220}{3}$ = 740
N$_I$ = N$_{II}$ = N$_{III}$ = $\frac{3780}{3}$ = 1260
I = A$_I$ + R$_I$ + N$_I$ + B$_I$
II = A$_{II}$ + R$_{II}$ + N$_{II}$ + B$_{II}$
III = A$_{III}$ + R$_{III}$ + N$_{III}$+ B$_{III}$
I = 2400 = A$_I$ + R$_I$ + 1260 + 740; entonces A$_I$ + R$_I$ = 400
II = 3600 = A$_{II}$ + R$_{II}$ + 1260 + 740; entonces A$_{II}$ + R$_{II}$ = 1600
III = 2520 = A$_{III}$ + R$_{III}$ + 1260 + 740; entonces A$_{III}$ + R$_{III}$ = 520
La ecuación que relaciona los datos que me faltan es:
R$_{II}$ = $\frac{3}{5}$ A$_{II}$
Como veo que A$_{II}$ + R$_{II}$ = 1600, y me conviene "fabricar" ecuaciones con una sola incógnita, reemplazo R$_{II}$ por su valor en la ecuación anterior, y queda:
1600 = A$_{II}$ + $\frac{3}{5}$ A$_{II}$ = $\frac{8}{5}$ A$_{II}$
A$_{II}$ = $\frac{5}{8}$ 1600 = 1000
Reemplazando: R$_{II}$ = 600
Para encontrar A$_I$ y A$_{III}$:
A = 1512 y A$_{II}$ = 1000 entonces A$_I$ + A$_{III}$ = 512
A$_I$ = A$_{III}$ entonces A$_I$ = A$_{III}$ = 256
A$_I$ + R$_I$ = 400; R$_I$ = 400 - 256 = 144
A$_{III}$ + R$_{III}$ = 520; R$_{III}$ = 520 - 256 = 264

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