Nacional Ñandú 2020 - Nivel 3 - Problema 4

[Luli97]

Lucía tiene $20$ tarjetas numeradas del $1$ al $20$ y las quiere distribuir en pilas de manera tal que la suma de los números de las tarjetas de cada pila sea la misma.
¿Cuántas pilas puede armar? Dar todas las posibilidades.
Para cada una de las posibilidades, mostrar una forma de armar las pilas. Explicar por qué no hay más posibilidades.

[jeremath]

Spoiler: mostrar

En el problema se nos dice que tenemos que encontrar todos los posibles números $k$ tales que se puede dividir el mazo en $n$ pilas diferentes que sumen individualmente a $k$. La primer cosa de la que nos tenemos que dar cuenta es que $n\cdot k=1+2+\ldots +20$. Esta es una realización clave ya que ahora sabemos que todo n tiene que cumplir $n\mid 1+2+\ldots +20$ (la barrita significa "$n$ divide a $1+2+\ldots +20$") ó, simplificado, $n\mid 210$. Otro requisito que es importante es que $k$ tiene que ser mayor o igual a $20$, que se puede reescribir como $\frac{210}{n}\geq 20$, ya que en el caso de que esto no se cumpla no se puede ubicar la carta que tiene el numero $20$.
Para encontrar a estos números es conveniente encontrar los divisores primos de $210$: $2,3,5,7$.
Ahora podemos encontrar a todos los divisores de $210$ multiplicando los primos entre sí, y luego de aplicar la regla de que $\frac{210}{n}\geq$ nos quedamos únicamente con los siguientes $n$:

• $2$
• $3$
• $5$
• $6$
• $7$
• $10$

Luego nos basta con encontrar $n-1$ pilas para cada configuración para confirmar que n funciona (Probablemente hay una forma más eficiente de realizar este paso). Esto confirma que todos los $n$ mencionados previamente funcionan.