Competencia Ernesto Paenza 2009 P1

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Competencia Ernesto Paenza 2009 P1

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 31 Dic, 2017 5:08 pm

Decidir si existen $n\in \mathbb N$ y $n$ números enteros distintos $a_1, a_2,...,a_n$ tales que el polinomio $(x-a_1)...(x-a_n)-1$ sea el producto de dos polinomios no constantes en $\mathbb Z [x]$
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Re: Competencia Ernesto Paenza 2009 P1

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 31 Dic, 2017 8:01 pm

Spoiler: mostrar
Espero que esté bien:
Sean $P(x), Q(x)\in \mathbb Z[x]$ los polinomios tales que:
$P(x)Q(x)=(x-a_1)...(x-a_n)-1$
De lo anterior, como el polinomio del miembro derecho tiene grado $n$:
$gr(P)+gr(Q)=n$
Notemos además que $max \{gr (P), gr (Q)\}\leq n-1$, ya que si $gr(P)=n$, $Q$ es constante, lo cual no puede ser por enunciado.
Evaluando en $a_i$, $1\leq i\leq n$ obtenemos que:
$P(a_i)Q(a_i)=-1$ para todo $1\leq i\leq n$
Como los coeficientes de $P$ y $Q$ son enteros, y todos los $a_i$ son enteros, entonces $P(a_i)$ y $Q(a_i)$ son todos enteros. Por lo tanto, para cada $i$ hay solo dos opciones:
$P(a_i)=1$ y $Q(a_i)=-1$
o
$P(a_i)=-1$ y $Q(a_i)=1$
Sin importar cuál sea el caso siempre podemos afirmar que $P(a_i)+Q(a_i)=1-1=0$
Sea $R(x)=(P+Q)(x)$
Entonces $R(a_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Por lo tanto, o bien $R(x)$ es el polinomio nulo, o bien $R(x)$ tiene al menos $n$ raíces, ya que todos los $a_i$ son diferentes por enunciado. Supongamos que $R(x)\not \equiv 0$ Entonces $gr (R)\geq n$.
Pero $n\leq gr(R)\leq max \{gr (P), gr (Q)\}\leq n-1$
Absurdo!
Entonces $R(x)\equiv 0$
En ese caso obtenemos que $Q(x)=-P(x)$, y entonces $-P(x)^2=(x-a_1)...(x-a_n)-1$. Notemos que el coeficiente en el miembro izquierdo de $x^n$ es negativo, pero en el miembro derecho este coeficiente es $+1$. Absurdo! Entonces no es posible lo que pide el enunciado.
Última edición por 3,14 el Mar 02 Ene, 2018 1:33 pm, editado 1 vez en total.
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tuvie

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Re: Competencia Ernesto Paenza 2009 P1

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 31 Dic, 2017 10:56 pm

3,14 escribió:
Dom 31 Dic, 2017 8:01 pm
Spoiler: mostrar
Entonces $R(a_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Por lo tanto, $R(x)$ tiene al menos $n$ raíces, ya que todos los $a_i$ son diferentes por enunciado. Entonces $gr (R)\geq n$.
¿No podria pasar que $ R $ sea el polinomio nulo?

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Re: Competencia Ernesto Paenza 2009 P1

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 31 Dic, 2017 11:22 pm

Ahí hice una corrección. No se si estará bien.
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