Uno de geo (?)

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Uno de geo (?)

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sean $P_0,\ldots ,P_{n+1}$ puntos en $\mathbb{R}^{n+1}$ que no están todos en un mismo hiperplano.
Demostrar que existe una única $n$-esfera que pasa por $P_0,\ldots ,P_{n+1}$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

Carlos V.
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Re: Uno de geo (?)

Mensaje sin leer por Carlos V. »

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En el plano el enunciado sería equivalente a probar que dados tres puntos no alineados existe una única circunferencia que pasa por esos tres puntos.
Caso IR^2:
Sin perder generalidad supongo X_0=(0;0), X_1=(x_0;0), X_2=(x;y), Sea C=(c_1;c_2).
C será el centro de la circunferencia y quedará determinada por X_0, X_1 y X_2, por el siguiente sistema de ecuaciones:
{|X_k-C|=|X_0-C|, k=1,2.
Si el sistema tiene solución única, tenemos garantizada existencia y unicidad de la proposición para este caso.
De la primer ecuación:

|X_1-C|=|X_0-C| <=>
(c_1-x_0)^2+c_2^2=c_1^2+c_2^2<=>
(c_1-x_0)^2= c_1^2<=>
Pasando a restar y por diferencia de cuadrados sigue que c_1=x_0/2

De la segunda ecuación:

|X_2-C|=|X_0-C|<=>

(x-c_1)^2+(y-c_2)^2=c_1^2+c_2^2

Pasando términos:

(y-c_2)^2-c_2^2=c_1^2-(x-c_1)^2

Por diferencia de cuadrados:

y.(y-2*c_2)=x(2*c_1-x)

Luego: y(y-2*c_2)=x(2c_1-x)

Puedo pasar "y" a dividir (si fuese y=0, bien sería x=0 o x=2c_1=x_0, ninguna de las dos cosas es posible!)


y-2*c_2=x(2c_1-x)/y

c_2=(y-x(2c_1-x)/y)/2

Reemplazando c_1=x_0/2

c_2=(y-x(x_0-x)/y)/2

En conclusión, queda determinado el centro y también el radio por los puntos X_0, X_1 y X_2.
Luego queda demostrada la proposición para el caso IR2. El caso IR^(n+1) sigue por inducción sobre el sistema de ecuaciones;

Caso IR^(n+1)

Sin perdida de generalidad supongamos que sobre el Hiperplano π:X_(n+1)=0 (la coordenada n+1 es cero) están los puntos:
X_0=(0,0..,0), X_1=(x_1(1),x_2(1),..x_n(1),0)
X_2=(x_1(2),x_2(2), .x_n(2),0),.
X_(n-1)=(x_1(n-1),..,x_n(n-1),0)
X_(n)=(x_1(n),..x_n(n),0)
Es decir que hay n+1 puntos en el Hiperplano.

Sean además el punto C=(c_1,c_2,..,c_n,c_(n+1)) (centro)
Y un punto que no está en el Hiperplano:
W=(w_1,w_2..w_(n+1)).

Considero ahora el sistema:

{|X_k-C|=|X_0-C|, k=1,..n
|W-C|=|X_0-C|

De n+1 ecuaciones y n+1 incógnitas.

Si se desarrollan las primeras n ecuaciones aparece de cada lado el término c_(n+1)^2.
Resulta entonces que el sistema queda con un bloque de nxn, luego por inducción en la dimensión: c_1,c_2,. ,c_n quedan determinados y se reemplazan en la última ecuación para así determinar a c_(n+1). Así concluye la prueba, no escribo las ecuaciones porque la notación no me permite ser más prolijo.

El Apache yasabes

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Re: Uno de geo (?)

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

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Para el caso $n=2$ sólo hace falta hacer los segmentos que unen los 3 puntos y con 2 mediatrices cualesquiera es fácil ver que el punto de intersección esta a igual distancia de los 3.
Sean A, B, C los puntos para el caso anterior y sea "r" la recta perpendicular al plano determinado por esos 3 puntos que pasa por el circuncentro, para todo punto $O_n $ de esa recta existe una esfera de radio $\overline {O_nA}$ que va a pasar por los 3 puntos, así que para alguno de esos puntos siempre va a haber uno que este También a una distancia igual de un cuarto punto D.
El resto, para ver que existe una única $\mathbb S^n \forall _n $ se demuestra por inducción como lo dijo Carlos.
Última edición por El Apache yasabes el Sab 10 Abr, 2021 6:22 pm, editado 1 vez en total.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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Gianni De Rico

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Re: Uno de geo (?)

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Este problema lo encontré originalmente haciendo cosas con espacios vectoriales, así que acá va una demo con lineal (no es mía)
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Sea $v_k=p_k-p_0$ para $k=1,\ldots ,n+1$, notemos que son LI ya que en caso contrario, $p_0\in \operatorname{span}(p_1,\ldots ,p_{n+1})$, entonces están todos en un mismo hiperplano, lo que contradice la hipótesis.
Ahora, sean $A,B\in \mathbb{R}^{n+1}$, entonces$$AB^2=||a-b||^2=\langle a-b,a-b\rangle =||a||^2+||b||^2-2\langle a,b\rangle .$$Ahora, $A$ es el centro de una esfera que pasa por los $P_k$ si y sólo si $AP_0^2=AP_k^2$ para $k=1,\ldots ,n+1$. Pero$$\begin{align*}AP_0^2=AP_k^2 & \iff ||a||^2+||p_0||^2-2\langle a,p_0\rangle =||a||^2+||p_k||^2-2\langle a,p_k\rangle \\
& \iff 2\langle a,p_k\rangle -2\langle a,p_0\rangle =||p_k||^2-||p_0||^2 \\
& \iff \langle a,p_k-p_0\rangle =\frac{||p_k||^2-||p_0||^2}{2} \\
& \iff \langle a,v_k\rangle =c_k
\end{align*}$$para $k=1,\ldots ,n+1$, donde $c_k=\frac{||p_k||^2-||p_0||^2}{2}$.
En forma matricial esto es $Ma=c$, donde $M$ es la matriz que tiene a los $v_k$ como vectores fila, $a$ es un vector columna y $c$ es el vector columna que tiene a los $c_k$ como componentes.
Como los $v_k$ son LI, entonces el sistema tiene solución única.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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