Un trapecio isósceles de $64\text{ cm}$ de perímetro es inscriptible y circunscriptible. Si el radio del círculo circunscripto es $16\text{ cm}$, calcular la longitud de los lados del trapecio.
Sea [math]ABCD el trapecio con [math]AB<CD. Llamemos [math]H al pie de la altura del trapecio respecto del vértice [math]B, y [math]X, Y, Z, W a los [math]4 puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, sobre [math]AB, BC, CD y DA respectivamente. Denotamos [math](ABC) el área de la figura [math]ABC
Es fácil ver (si consideramos el triángulo resultante de prolongar [math]CB y [math]DA) que el incentro está sobre la mediatriz de [math]DC (que por tratarse de un trapecio isósceles, es la misma mediatriz que la de [math]AB).
Como los lados son tangentes a la circunferencia(y usando lo anterior) [math]WA=AX=YB=BX=b, [math]YC=CZ=ZD=DW=a.
Por enunciado, [math]4a+4b=64, entonces [math]a+b=16=AD=BC, y por supuesto, [math]b=16-a
Notemos que [math](ABCD)=(BCD)+(BDA), y es un hecho conocido que el área de un triángulo de lados [math]p, q, r es [math]\frac{pqr}{4*circunradio}. Usando esto tenemos que:
[math]\frac{(2a+2b)*BH}{2}=\frac{2a*16*BD}{4*16} + \frac{2b*16*BD}{4*16}, entonces [math]16*BH=BD(Ecuación 1)
Por Pitágoras en [math]\triangle BHC tenemos que: [math](a-b)^2 + BH^2 = (2a-16)^2 +BH^2 = 16^2(Ecuación 2)
Por Pitágoras en [math]\triangle BHD tenemos que: [math](2a - (a-b))^2 + BH^2= (a+b)^2 + BH^2 = 16^2 + BH^2 = BD^2(Ecuación 3)
Usando Ecuación 1, 2 y 3 es sencillo calcular el valor de [math]a y el problema sigue. ■
Sea [math]x la longitud de la base menor del trapecio, sea [math]y la longitud de la base mayor del trapecio, sea [math]z la longitud de los lados iguales. Sea [math]d la longitud de las diagonales.
Por hipótesis se tiene [math]x+y+2z=64, y por el Teorema de Pitot se tiene [math]x+y=2z. De aquí sale fácil que [math]z=16. Por lo tanto [math]y=32-x.
Como el área de un triángulo es el producto de sus lados sobre el cuádruple de su circunradio, y como el circuncírculo del trapecio es también el circuncírculo de los dos triángulos en que queda dividido el mismo al trazar una diagonal, se tiene que el área del trapecio está dada por
Por lo tanto [math]d^2=4x\left (32-x\right ). Finalmente, por el Teorema de Ptolomeo se tiene [math]d^2=xy+z^2=x\left (32-x\right )+256. Igualando con la expresión anterior obtenemos
Las raíces de la ecuación son [math]16\pm \frac{16}{3}\sqrt{6}, pero como [math]x es la base menor se tiene [math]x=16-\frac{16}{3}\sqrt{6}, luego [math]y=16+\frac{16}{3}\sqrt{6}.
