CIMA 2017 - Problema 3

[JPablo]

$(a)$ Hallar $c\in \mathbb{R}$ tal que$$\int \limits _1^2\int \limits _1^2|f(x)-g(y)|\,dy\,dx\leq c\int \limits _0^3\int \limits _0^x|f(x)-g(y)|\,dy\,dx$$para todo par de funciones integrables $f,g:[0,3]\to \mathbb{R}$.

$(b)$ Hallar el menor valor de $c\in \mathbb{R}$ tal que vale la propiedad anterior.

[ésta]

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Veamos que [math]c =1 funciona.
Sea [math]h(x,y) = f(x) - g(y). Notemos que dados los vertices de un rectángulo [math](x_1, y_1), [math](x_1, y_2), [math](x_2, y_1), [math](x_2, y_2), tenemos la siguiente propiedad sobre [math]h:
[math]h(x_1,y_1) - h(x_1,y_2) - h(x_2,y_1) + h(x_2,y_2) = 0.
Esto nos dice que si en un vértice del rectángulo [math]|h| pesa mucho, los otros tres tienen que contrarrestarlo, es decir:
[math]h(x_1,y_1) = h(x_1,y_2) + h(x_2,y_1) - h(x_2,y_2)
[math]|h(x_1,y_1)| = |h(x_1,y_2) + h(x_2,y_1) - h(x_2,y_2)| \leq |h(x_1,y_2)| + |h(x_2,y_1)| + |h(x_2,y_2)|.
Llamemos [math]R_1 al cuadrado sobre el que integra el lado izquierdo de la ecuación, [math]T al triángulo sobre el que integra el lado derecho y [math]R_2, [math]R_3, [math]R_4 a los cuadrados ubicados abajo y a la derecha de [math]R_1 como muestra la figura:

CIMA3.png

Dado un punto [math](x,y) cualquiera en [math]R_1, si tomamos los puntos correspondientes en [math]R_2, [math]R_3 y [math]R_4 como muestra la figura

CIMA32.png

Vemos que formamos los vértices de un cuadrado y por lo tanto
[math]|h(x,y)| \leq |h(x,y-1)| + |h(x+1,y)| + |h(x+1,y_1)|
Integrando esto sobre [math]R_1 obtenemos
[math]\int_{R_1}|h(x,y)| dydx\leq \int_{R_1}|h(x,y-1)| + |h(x+1,y)| + |h(x+1,y-1)|dydx
Moviendo los dominios de integración nos queda
[math]\int_{R_1}|h(x,y)| dydx\leq \int_{R_2}|h(x,y)|dydx + \int_{R_3}|h(x,y)|dydx + \int_{R_4}|h(x,y)|dydx
Como [math]R_2, [math]R_3 y [math]R_4 son disjuntos (salvo un conjunto de medida 0 si consideramos el borde)
[math]\int_{R_1}|h(x,y)| dydx\leq \int_{R_2 \cup R_3 \cup R_4}|h(x,y)|dydx
Y como estamos integrando una función positiva y [math]R_2 \cup R_3 \cup R_4 \subset T
[math]\int_{R_1}|h(x,y)| dydx\leq \int_{T}|h(x,y)|dydx
Luego [math]c=1 cumple la desigualdad.

Dado [math]\epsilon > 0, si tomamos [math]g \equiv 0 y [math]f definida por:
[math]f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\varepsilon} & \text{si } x\in(1, 1+\varepsilon) \\ 0 & \text{si no}\end{cases}
nos queda [math]\int_{R_1}|h(x,y)| dydx = 1 y [math]\int_{T}|h(x,y)| dydx = \frac{2+\varepsilon}{2}
Por lo que si [math]c cumple la desigualdad
[math]1 \leq c \frac{2+\varepsilon}{2}
Y haciendo tender [math]\varepsilon a [math]0 queda [math]1 \leq c.
Luego [math]c = 1 es el menor valor posible para el que vale la desigualdad.