Se arroja [math]3 veces un dado equilibrado con las caras numeradas de [math]1 a [math]6. Halle la probabilidad del suceso siguiente: la suma de los valores observados es igual a [math]11.
¿Existe otra suma posible de valores observados con mayor probabilidad?
La cantidad de formas de sumar [math]11 tirando [math]3 veces un dado equilibrado es la cantidad de soluciones de la ecuación [math]x+y+z=11 con [math]1\leq x,y,z\leq 6, que por fórmula es [math]\binom{10}{2}-3\binom{4}{2}=45-3\times6=45-18=27=3^3. La cantidad de formas de que salgan los números en los [math]3 tiros del dado es [math]6^3=2^33^3. Luego, la probabilidad de obtener una suma igual a [math]11 después de los [math]3 tiros es [math]p=\frac{3^3}{6^3}=\frac{3^3}{2^33^3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}.
La fórmula para calcular la cantidad de soluciones de [math]x_1+x_2+x_3+\ldots +x_k=n en enteros desde [math]1 hasta [math]c inclusive es [math]\sum_{i=0}^{m} (-1)^i\binom{k}{i}\binom{n-ic-1}{k-1}
Donde [math]m es el menor número tal que [math]i>k o [math]k-1>n-ic-1\Rightarrow i>\frac{n-k}{c}, es decir, [math]m\leq k o [math]m\leq \frac{n-k}{c}, dependiendo de cuál sea menor. Como sólo hay [math]18-3+1=16 posibles sumas a obtener con los dados (desde [math]1+1+1=3 hasta [math]6+6+6=18), se pueden comprobar todos los casos a mano y ver si hay alguno que tenga una mayor probabilidad. Nótese que para este problema siempre [math]m\leq 2, ya que si [math]n=18 entonces [math]n-1=17 y como [math]c=6, si [math]m=3 en algún momento se daría [math]18-18-1=-1, lo que no tiene sentido, ya que no podemos seleccionar [math]2 elementos de un conjunto con [math]-1 elementos. Luego, [math]m\leq 2.