Número de oro P7 2017 Estudiantes

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.

Número de oro P7 2017 Estudiantes

UNREAD_POSTpor 3,14 » Lun 04 Sep, 2017 2:54 pm

Sea $m$ un entero positivo. Calcule:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{k(k+m)}$
$\pi=4\left (1-\frac {1}{3}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+\frac {1}{9}-...\right )$
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Re: Número de oro P7 2017 Estudiantes

UNREAD_POSTpor Nacho » Lun 04 Sep, 2017 4:25 pm

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Es usar el truco clásico $\dfrac{1}{k(k+m)} = \dfrac{1}{m}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+m}\right)$. La suma telescopea y se cancelan todos los factores desde $k>m$ y así el resultado queda $\dfrac{1}{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^m \dfrac{1}{k}\right) = \dfrac{H_m}{m}$ ($H_m$ es la suma de los primeros $m$ recíprocos).
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Re: Número de oro P7 2017 Estudiantes

UNREAD_POSTpor LuchoLP » Lun 11 Sep, 2017 7:50 pm

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Veamos que $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+m)}$ converge.

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+m)} =  \sum_{k=1}^{\infty}  \frac{1}{m} * \frac{k+m-k}{k(k+m)} =  \sum_{k=1}^{\infty}  \frac{1}{m} * (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+m})$. Esto converge si y solo si $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m}$ converge.

Si $n>m$:

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...+ \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m+2} - \frac{1}{m+2} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n} - (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m}) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...+ \frac{1}{m} - (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m})$

Veamos que cuando $n$ tiende a $\infty$ entonces $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m}$ tiende a $0$ ($m$ fijo). En efecto, tenemos que: $0\leq \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m} \leq \frac{1}{n}*m = \frac{m}{n}$. Cuando $n$ tiende a $\infty$, $\frac{m}{n}$ tiende a $0$. Luego, por Teorema del Sandwich, cuando $n$ tiende a $\infty$ entonces $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m}$ tiende a $0$.

Entonces podemos decir que cuando $n$ tiende a $\infty$, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m}$ tiende a $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...+ \frac{1}{m}$.

Luego, $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...+ \frac{1}{m}$.

Finalmente, $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+m)} = \frac{1}{m} * (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...+ \frac{1}{m})$

LuchoLP
 
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