Número de oro P7 2017 Estudiantes

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
Avatar de Usuario
3,14

OFO - Medalla de Plata FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 438
Registrado: Jue 11 Oct, 2012 5:20 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico

Número de oro P7 2017 Estudiantes

Mensaje sin leer por 3,14 » Lun 04 Sep, 2017 2:54 pm

Sea [math] un entero positivo. Calcule:
[math]
[math]

Avatar de Usuario
Nacho

Colaborador OFO - Jurado
Mensajes: 562
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 10:28 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico

Re: Número de oro P7 2017 Estudiantes

Mensaje sin leer por Nacho » Lun 04 Sep, 2017 4:25 pm

Spoiler: mostrar
Es usar el truco clásico [math]. La suma telescopea y se cancelan todos los factores desde [math] y así el resultado queda [math] ([math] es la suma de los primeros [math] recíprocos).
1  
"Though my eyes could see I still was a blind man"

LuchoLP

OFO - Medalla de Bronce OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 181
Registrado: Mié 17 Abr, 2013 7:27 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico

Re: Número de oro P7 2017 Estudiantes

Mensaje sin leer por LuchoLP » Lun 11 Sep, 2017 7:50 pm

Spoiler: mostrar
Veamos que [math] converge.

[math]. Esto converge si y solo si [math] converge.

Si [math]:

[math]

Veamos que cuando [math] tiende a [math] entonces [math] tiende a [math] ([math] fijo). En efecto, tenemos que: [math]. Cuando [math] tiende a [math], [math] tiende a [math]. Luego, por Teorema del Sandwich, cuando [math] tiende a [math] entonces [math] tiende a [math].

Entonces podemos decir que cuando [math] tiende a [math], [math] tiende a [math].

Luego, [math].

Finalmente, [math]

Responder