Número de oro P8 2017 Estudiantes

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.

Número de oro P8 2017 Estudiantes

UNREAD_POSTpor 3,14 » Lun 04 Sep, 2017 3:01 pm

Sean $P$, $Q$, $R$, $S$ respectivamente los baricentros de los triángulos $ABC$, $BCD$, $CDA$ y $DAB$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. Demuestre que las rectas $PD$, $QA$, $RB$ y $SC$ son concurrentes.
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Re: Número de oro P8 2017 Estudiantes

UNREAD_POSTpor 3,14 » Lun 04 Sep, 2017 6:24 pm

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Marquemos los puntos medios de los cuatro lados, $I, K, J, L$. Podemos ver inmediatamente por Thales que forman un paralelogramo ($IL\parallel CA\parallel KJ$ y $IK\parallel DB\parallel LJ$). Vamos a demostrar que todas las cuatro rectas $PD$, $RB$, $QA$ y $SC$ pasan por la intersección de las diagonales $M$ del paralelogramo $IKJL$.
Demostraremos que $P$, $M$ y $D$ son colineales (lo que implica que $M\in DP$). En forma completamente análoga, se puede demostrar que $Q$, $M$ y $A$ son colineales, etc, con lo que el problema estaría resuelto.
Usamos Menelao en el triángulo $ICJ$.
Notemos que por ser baricentro, $P$ cumple la relación $\frac {CP}{PJ}=2$. Por ser la intersección de las diagonales de un paralelogramo, se cumple $\frac {JM}{MI}=1$, y por ser $I$ punto medio de $DC$ se cumple $\frac {ID}{DC}=\frac {1}{2}$. Por lo tanto:
$\frac {CP}{PJ}.\frac {JM}{MI}.\frac {ID}{DC}=2.1.\frac {1}{2}=1$
Y por Menelao, los puntos $P$, $M$ y $D$ son colineales, y estamos. $\blacksquare$
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Re: Número de oro P8 2017 Estudiantes

UNREAD_POSTpor Matías V5 » Lun 11 Sep, 2017 10:45 pm

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Vamos a ver que las rectas concurren en el baricentro $G = \frac{A+B+C+D}{4}$ del cuadrilátero.
Para eso basta ver que $G$ pertenece a la recta $PD$, las otras tres son análogas.
Los puntos de la recta $PD$ son los de la forma $tP + (1-t)D$ con $t \in \mathbb{R}$; como $P = \frac{A+B+C}{3}$ esto es $\frac{t}{3}A + \frac{t}{3}B + \frac{t}{3}C + (1-t)D$. En particular tomando $t=\frac{3}{4}$ vemos que $G$ está en $PD$. $\blacksquare$
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Matías V5
 
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