Número de oro P8 2017 Estudiantes

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
Avatar de Usuario
3,14

OFO - Medalla de Plata FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 427
Registrado: Jue 11 Oct, 2012 5:20 pm
Medallas: 4
Nivel: Exolímpico

Número de oro P8 2017 Estudiantes

Mensaje sin leer por 3,14 » Lun 04 Sep, 2017 3:01 pm

Sean [math], [math], [math], [math] respectivamente los baricentros de los triángulos [math], [math], [math] y [math] del cuadrilátero convexo [math]. Demuestre que las rectas [math], [math], [math] y [math] son concurrentes.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

Avatar de Usuario
3,14

OFO - Medalla de Plata FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 427
Registrado: Jue 11 Oct, 2012 5:20 pm
Medallas: 4
Nivel: Exolímpico

Re: Número de oro P8 2017 Estudiantes

Mensaje sin leer por 3,14 » Lun 04 Sep, 2017 6:24 pm

Spoiler: mostrar
Marquemos los puntos medios de los cuatro lados, [math]. Podemos ver inmediatamente por Thales que forman un paralelogramo ([math] y [math]). Vamos a demostrar que todas las cuatro rectas [math], [math], [math] y [math] pasan por la intersección de las diagonales [math] del paralelogramo [math].
Demostraremos que [math], [math] y [math] son colineales (lo que implica que [math]). En forma completamente análoga, se puede demostrar que [math], [math] y [math] son colineales, etc, con lo que el problema estaría resuelto.
Usamos Menelao en el triángulo [math].
Notemos que por ser baricentro, [math] cumple la relación [math]. Por ser la intersección de las diagonales de un paralelogramo, se cumple [math], y por ser [math] punto medio de [math] se cumple [math]. Por lo tanto:
[math]
Y por Menelao, los puntos [math], [math] y [math] son colineales, y estamos. [math]
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
[math]

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 852
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico

Re: Número de oro P8 2017 Estudiantes

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 11 Sep, 2017 10:45 pm

Spoiler: mostrar
Vamos a ver que las rectas concurren en el baricentro [math] del cuadrilátero.
Para eso basta ver que [math] pertenece a la recta [math], las otras tres son análogas.
Los puntos de la recta [math] son los de la forma [math] con [math]; como [math] esto es [math]. En particular tomando [math] vemos que [math] está en [math]. [math]
5  
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Responder