CIMA - Problema 3 (Competencia Interuniversitaria)

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
sebach

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CIMA - Problema 3 (Competencia Interuniversitaria)

Mensaje sin leer por sebach » Jue 21 Jun, 2018 7:47 pm

Calcular:

$$\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sum_{k=1}^{n} \dfrac{6^k*k!}{(2k+1)^k}}{\sum_{k=1}^{n} \dfrac{3^k*k!}{k^k}}$$

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Turko Arias

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Re: CIMA - Problema 3 (Competencia Interuniversitaria)

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 22 Jun, 2018 11:47 am

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Sean $a_n=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{3^k*k!}{k^k}$ y $b_n=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{6^k*k!}{(2k+1)^k}$, aplicamos el criterio de D'alembert a la serie que tiene a las $a_n$ como suma parcial:
$\lim_{n\to\infty} \dfrac{\dfrac{3^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{3^n*n!}{n^n}}= \lim_{n\to\infty} 3*\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n$ pero el límite de la derecha es conocido que da $3e$, luego la serie diverge, y por ende la sucesión $a_n$ diverge.

Ahora bien, como la sucesión de abajo es monótona, creciente y divergente a más infinito, podemos aplicar el Teorema de Stolz-Cesàro:

$\lim_{n\to\infty} \dfrac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}= \lim_{n\to\infty} \dfrac{\dfrac{6^{n+1}*(n+1)!}{(2n+3)^{n+1}}}{\dfrac{3^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}= \lim_{n\to\infty} \dfrac{(2n+2)^{n+1}}{(2n+3)^{n+1}}$ y haciendo la sustitución $h=2n+2$ nos queda

$\lim_{h\to\infty} \left[\left(\dfrac{h}{h+1}\right)^h\right]^{\dfrac{1}{2}}= \lim_{h\to\infty} \sqrt{\left(\dfrac {1}{1+\dfrac{1}{h}}\right)^h}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$, pero el teorema nos dice que si $\lim_{n\to\infty} \dfrac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=L$ con $L$ real y si $a_n$ siempre es distinto de cero, entonces también va a suceder que $\lim_{n\to\infty} \dfrac{b_n}{a_n}=L$, luego $\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sum_{k=1}^{n} \dfrac{6^k*k!}{(2k+1)^k}}{\sum_{k=1}^{n} \dfrac{3^k*k!}{k^k}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ $\blacksquare$

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