Número de Oro 2018 - P7

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 777
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Número de Oro 2018 - P7

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Sep, 2018 4:20 pm

Dado un triángulo isósceles de lados $a$, $b$ y $c$, $b=c$, que verifica $$\frac{a}{b}=\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ determine los ángulos del triángulo.
[math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 777
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Número de Oro 2018 - P7

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Sep, 2018 6:09 pm

Spoiler: mostrar
Sea $ABC$ el triángulo con $a=BC$, $b=CA$ y $c=AB$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, como $CA=b=c=AB$ entonces $AM\perp BC$. Por lo tanto $\angle ABC=\angle ACB=\angle ACM=\arccos \left (\frac{CM}{CA}\right )=\arccos \left (\frac{1}{2}\frac{BC}{CA}\right )=\arccos \left (\frac{1}{2}\frac{a}{b}\right )=\arccos \left (\frac{1}{2}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )=\arccos \left (\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right )=36°$
Como los ángulos interiores de un triángulo suman $180°$ resulta $\angle BAC=180°-36°-36°=108°$
Finalmente los ángulos del triángulo son $36°$, $36°$ y $108°$.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
[math]

Avatar de Usuario
3,14

OFO - Medalla de Plata FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 445
Registrado: Jue 11 Oct, 2012 5:20 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico

Re: Número de Oro 2018 - P7

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 09 Sep, 2018 7:09 am

Demo de que $cos\left (\frac{\pi}{5}\right)=\frac {1+\sqrt 5}{4}$ (escribo más bien la idea general y no todas las cuentas)
Spoiler: mostrar
Construimos un polinomio que tenga como raíces a $\frac{1+\sqrt 5}{4}$ y $\frac {1-\sqrt 5}{4}$: $4x^2-2x-1$
Construimos otro con raíces $\frac{-1+\sqrt 5}{4}$ y $\frac {-1-\sqrt 5}{4}$: $4x^2+2x-1$
Multiplicándolos obtenemos un polinomio que tiene como raíces a esos cuatro valores:
$P(x)=16x^4-12x^2+1$
Sea ahora una raíz décima de la unidad $\omega \in G_{10}$ (y supongamos que es distinta de $1$). Veamos ahora que:
$Re(\omega)=\frac {\omega + \bar\omega}{2}$
es en efecto una raíz de $P(x)$. Para ello evaluamos y usamos que $\bar \omega= \omega^{-1}$ y que $\omega^{-k}=\omega^{10-k}$.
$P(Re(\omega))= 1+\omega^2+\omega^4+\omega^6+\omega^8=\sum_{j=0}^4 (\omega^2)^j=\frac {(\omega^2)^5-1}{\omega^2-1}=0$
(en la suma geométrica usamos que pedimos que no fuera $1$)
Notemos que $cos\left (\frac{\pi}{5}\right)$ es en particular la parte real de una raíz décima de la unidad distinta de $1$, por lo que es raíz de $P(x)$, entonces tiene que ser igual a alguno de los cuatro valores que mencionamos antes. Por argumentos de signo y magnitud se puede deducir que la única opción es:
$cos\left (\frac{\pi}{5}\right)=\frac {1+\sqrt 5}{4}$
[math]

tuvie

Colaborador OFO - Medalla de Oro FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Jurado FOFO 7 años - Jurado
FOFO 8 años - Jurado
Mensajes: 558
Registrado: Dom 09 Sep, 2012 11:58 am
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Re: Número de Oro 2018 - P7

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 09 Sep, 2018 11:17 am

Esta escrito medio rápido, dejo algunos detalles.
Spoiler: mostrar
Sea $ABC$ el triangulo. Sea $D$ en la semirrecta $CA$ tal que $\angle{DBA}=\angle{ABC}$.

Entonces, por potencia de un punto, $DB^2=DA\times{DC}$ y por teorema de la bisectriz, $DB=\frac{BC\times{DA}}{AC}$. Juntando ambas cosas $\frac{DC}{DA}=\frac{BC^2}{AC^2}=\phi ^2=1+\phi$, por lo que $\frac{AC}{DA}=\phi=\frac{BC}{AC}$ y usando el teorema de la bisectriz, $\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{AC}$ y queda $BD=AC=AB$.
Con esto ya se pueden sacar los ángulos, y queda $\angle{ABC}=\angle{ACB}=36$ y $\angle{BAC}=108$.
1  

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 777
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Número de Oro 2018 - P7

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 09 Sep, 2018 6:01 pm

Otra forma es
Spoiler: mostrar
Usamos esto de donde sale que $ABC$ y el triángulo formado por dos lados consecutivos y la diagonal que los une del pentágono son semejantes, de donde tienen todos sus ángulos iguales, y los del pentágono regular ya sabemos cómo sacarlos.
[math]

Responder