Número de Oro 2018 - P8

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2018 - P8

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Sep, 2018 4:22 pm

Halle para cada natural $n$ el valor $P_n$ del producto $$\prod \limits _{k=0}^n\cos \left (2^k\frac{\pi}{3}\right )$$
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Número de Oro 2018 - P8

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Sep, 2018 5:52 pm

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Primero que nada, $\frac{\pi}{3}\text{rad}=60°$.
Definimos el resto* de un ángulo $\alpha$ (medido en grados sexagesimales) como el número real $r$ tal que $0\leqslant r<360$ y $\alpha =360q+r$ con $q\in \mathbb{Z}$. Cuando el valor de $\alpha$ es entero, el resto* coincide con el valor de $\alpha$ módulo $360$. La función coseno asigna el mismo valor a los ángulos con el mismo resto*, en particular, asigna el mismo valor a los ángulos congruentes módulo $360$.
Ahora, $60\equiv 60(360)$, $2\cdot 60\equiv 120(360)$, $4\cdot 60\equiv 2\cdot 120\equiv 240(360)$ y $8\cdot 60\equiv 2\cdot 240\equiv 480\equiv 120(360)$. Luego, $2^{2n}\cdot 120\equiv 120(360)$ y $2^{2n-1}\cdot 120\equiv 240(360)$.
Entonces $$\prod \limits _{k=0}^n\cos \left (2^k\frac{\pi}{3}\right )=\cos (60°)\cdot \prod \limits _{k=1}^n\cos \left (2^{k-1}\cdot 60°\right )$$
Como la función coseno asigna el mismo valor a los ángulos congruentes módulo $360$, podemos ver este producto como un producto alternado de los cosenos de $120°$ y $240°$, pero $\cos (120°)=-\frac{1}{2}=\cos (240°)$ y $\cos (60°)=\frac{1}{2}$. Luego $$\cos (60°)\cdot \prod \limits _{k=1}^n\cos \left (2^{k-1}\cdot 60°\right )=\frac{1}{2}\cdot \prod \limits _{k=1}^n(-1)\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot (-1)^n\frac{1}{2^n}=(-1)^n\frac{1}{2^{n+1}}$$
Por lo tanto $P_n=(-1)^n\frac{1}{2^{n+1}}$
[math]

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