Proposiciones sobre derivadas

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CarlPaul_153
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Proposiciones sobre derivadas

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Jue 16 May, 2019 9:22 am

Demuestra la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones sobre una función f de n variables en un punto P.

1) existen todas las derivadas parciales en P ⟺ existen todas las derivadas direccionales en P
2) existen todas las derivadas direccionales en P ⇒ la función es continua en P
3) f puede ser derivable en un número cualquiera [0-n] de derivadas parciales en P.
4) f puede ser derivable en un número cualquiera [0-$\infty$] de derivadas direccionales no parciales en P.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.

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CarlPaul_153
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Re: Proposiciones sobre derivadas

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Jue 16 May, 2019 10:16 am

1)
Spoiler: mostrar
La demostración de que la derivada direccional es igual al producto del gradiente por el vector dirección unitario u, es decir:
$Duf= \nabla f.u$
Se puede encontrar fácilmente.
Las derivadas parciales existen si y solo si existe el gradiente. Luego, si existe el gradiente, nada me impide multiplicarlo por un vector unitario en cualquier dirección, por lo que existen las derivadas en cualquier dirección. Esto es:
Si existen todas las derivadas parciales en P ⇒ existen todas las derivadas direccionales en P
Ahora, como las derivadas parciales son derivadas direccionales, se cumple también el recíproco.
Analíticamente no encuentro problema, pero conceptual o geométricamente me cuesta mucho aceptarlo. Es lo mismo que decir: si existe derivada en la dirección de máximo crecimiento, existe en todas las direcciones. Me parece una proposición muy extraña, no entiendo la relación de una cosa con la otra.
Además, encontré este pdf en internet que niega la proposición en el primer párrafo: http://campus.usal.es/~mpg/Personales/P ... 09-10).pdf
Alguno de los dos estaremos equivocados :roll:

2)
Spoiler: mostrar
Para que f sea derivable en el punto P en una dirección u, f tiene que ser continua en P en la dirección u. Y si f es continua en todas las direcciones alrededor de P, f tiene que ser continua en P. f estaría definido en un entorno de P y el límite de la función en todo el entorno sería igual a f(P)
Disculpad la poca rigurosidad, si es muy vaga la respuesta y no convence me tomaré el tiempo de formularlo mejor.
Al igual que en el caso anterior, he encontrado tres lugares donde se contradice esta proposición sin demostración:
Segundo párrafo de este documento: https://www.academia.edu/28518726/MARCO ... da_Parcial
y anteúltimo párrafo de: https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_ ... ici%C3%B3n
Observación 6.5 en https://rodas5.us.es/file/7cd952d6-f051 ... age_03.htm

El 3 y el 4 no tengo idea.
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Vladislao

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Re: Proposiciones sobre derivadas

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 16 May, 2019 4:37 pm

1) Es falso. Lo que estás invocando al decir $\frac{\partial}{\partial \mathbf{u}} f(x) = \nabla f(x) \cdot \mathbf{u}$ vale bajo la hipótesis de que $f$ sea diferenciable en $x$ (donde diferenciable no es lo mismo a que existan todas las derivadas parciales).

Un ejemplo de función (que obviamente no es diferenciable) pero que tiene derivadas parciales y no todas las derivadas direccionales.

$$ f(x,y) = \left\{ \begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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CarlPaul_153
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Re: Proposiciones sobre derivadas

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Jue 16 May, 2019 6:15 pm

Vladislao escribió:
Jue 16 May, 2019 4:37 pm
1) Es falso. Lo que estás invocando al decir $\frac{∂}{∂u}f(x)=∇f(x)⋅u$ vale bajo la hipótesis de que $f$ sea diferenciable en $x$ (donde diferenciable no es lo mismo a que existan todas las derivadas parciales).
Yo pensé lo mismo, porque algunas demostraciones lo demuestran para una $f$ diferenciable, aunque no demuestran que sea condición necesaria (por ejemplo wikipedia). Pero según lo veo yo, el libro "Calculo de varias variables" de James Stewart, 7ma edición lo demuestra de forma genérica en la página 935.
Vladislao escribió:
Jue 16 May, 2019 4:37 pm
Un ejemplo de función (que obviamente no es diferenciable) pero que tiene derivadas parciales y no todas las derivadas direccionales.

$$ f(x,y) = \left\{ \begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$
En caso de que la igualdad anterior no se cumpla solo con funciones diferenciables, si existiría la derivada en cualquier dirección. Yo grafiqué con Geogebra y no veo porque no se podría derivar en alguna dirección
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Gianni De Rico

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Re: Proposiciones sobre derivadas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 08 Jul, 2019 3:48 pm

CarlPaul_153 escribió:
Jue 16 May, 2019 6:15 pm
Vladislao escribió:
Jue 16 May, 2019 4:37 pm
Un ejemplo de función (que obviamente no es diferenciable) pero que tiene derivadas parciales y no todas las derivadas direccionales.

$$ f(x,y) = \left\{ \begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$
En caso de que la igualdad anterior no se cumpla solo con funciones diferenciables, si existiría la derivada en cualquier dirección. Yo grafiqué con Geogebra y no veo porque no se podría derivar en alguna dirección
Fijate que por definición de derivada direccional de $f$ en el punto $\mathbf{a}$, tenemos $$f'(\mathbf{a},\mathbf{v})=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{a})}{h}$$ con $||\mathbf{v}||=1$
En particular para $\mathbf{a}=(0,0)$, poniendo $g(h)=f(h\mathbb{v})$, tenemos $f'((0,0),\mathbb{v})=g'(0)$. Ahora, si $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$, resulta $g(h)=\frac{(hv_1)(hv_2)}{(hv_1)^2+(hv_2)^2}=\frac{v_1v_2}{v_1^2+v_2^2}=v_1v_2$ para $h\neq 0$, y $g(0)=0$. Pero $v_1v_2=0$ si y sólo si exactamente uno entre $v_1$ y $v_2$ es $0$ (pues $||\mathbf{v}||=1$). Luego, si $v_1,v_2\neq 0$, tenemos que $g$ no es continua en $0$, y por lo tanto no es derivable. Esto es, las únicas derivadas direccionales de $f$ en $(0,0)$ son las derivadas parciales.
[math]

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