CIMA 2019 - P2

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
jujumas

OFO - Mención OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Oro perfecto FOFO Pascua 2017 - Medalla
OFO - Medalla de Oro FOFO 8 años - Jurado OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado
Mensajes: 373
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 10
Nivel: 2

CIMA 2019 - P2

Mensaje sin leer por jujumas » Jue 06 Jun, 2019 6:30 pm

Sea $\lambda$ un real y $\left \{a_1, a_2, a_3, \ldots \right \}$ una sucesión convergente de números reales tales que:
$\lambda a_1 = a_2$,
$\lambda a_2 = a_1 + a_3$,
$\cdots$
$\lambda a_i = a_{i-1} + a_{i+1}$ para $i > 1$.
Probar que $a_i=0$ para todo $i=1, 2, 3, \ldots$.

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado FOFO 7 años - Jurado FOFO 8 años - Jurado
Mensajes: 850
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 9
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: CIMA 2019 - P2

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 09 Jun, 2019 11:04 pm

No me siento muy orgulloso
Spoiler: mostrar
Sea $a_0 = 0$, a términos de que quede todo más lindo. En este caso es $\lambda a_i = a_{i-1}+a_{i+1}$ para todo $i \geq 1$

Supongamos primero que $\lambda = 0$. Luego tenemos $a_{i+1} = -a_{i-1}$ para todo $i \geq 1$. Como la sucesión es convergente, necesariamente $a_i = 0$.

Supongamos ahora que $\lambda = 2$. Luego, $a_2 = 2a_1$, $a_3 = 2a_2 - a_1 = 4a_1 -a_1 = 3a_1$, y por inducción tenemos $a_n = na_1$. Como la sucesión es convergente necesariamente $a_i = a_1 = 0$.

Supongamos ahora que $\lambda = -2$. Luego, $a_2 = -2a_1$, $a_3 = -2a_2 - a_1 = 4a_1 -a_1 = 3a_1$, y por inducción tenemos $a_n = (-1)^{n+1}na_1$. Como la sucesión es convergente necesariamente $a_i = a_1 = 0$.

Supongamos ahora que lambda es buenito. Como todo es finito y los límites existen, vemos que $$\lim_i a_i = \lim_i \frac{\lambda a_i}{\lambda} = \frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{\lambda} = \frac{2}{\lambda}\lim_i a_i,$$ de donde el límite necesariamente es $0$.

Ahora, como $a_{i+1} = \lambda a_i - a_{i-1}$ y $\lambda \neq 0$ ó $\pm 2$, tenemos una relación de recurrencia en nuestra sucesión. Invocando a un conocido Teorema, o simplemente resolviendo, tenemos que $$a_n = C\zeta_1^n + D\zeta_2^n,$$ para ciertos números complejos $\zeta_1, \zeta_2$ que verifican $\zeta_1\zeta_2 = 1$, y $\zeta_1 + \zeta_2 = \lambda$, y ciertas constantes $C,D$.

Como $a_0 = 0$, es $D = -C$. Luego tenemos que $$a_n = \pm C(\zeta_1^n- \zeta_2^n) = \pm C\zeta_2^n(\zeta_1^n\zeta_2^{-n} - 1) = \pm C \zeta_2^{n}(\zeta_1^{2n}-1).$$ Suponiendo que $|\zeta_1|\leq 1 \leq |\zeta_2|$, tomando el límite cuando $n \to \infty$ debe ser $C = 0$ ó $\lim_n \zeta_1^{2n} = 1$.

En este último caso, debería ser $\zeta_1 = \pm 1$, pero implicaría $\lambda = \pm 2$, el cual ya habíamos descartado.
Luego debe ser $C = 0$ y por lo tanto necesariamente $a_n = 0$, como queríamos ver.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Responder