Número de Oro 2019 - P2

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 1044
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Número de Oro 2019 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 5:54 pm

Determine todos los números naturales $n$ tales que $$\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv 3n-9 \pmod 5$$.
[math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 1044
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Número de Oro 2019 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:21 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Afirmo que los $n$ que verifican la ecuación modular son exactamente los que verifican $$n\equiv 3\pmod 5$$

Veamos que si $n'\equiv n\pmod 5$, entonces
$\sum \limits _{k=1}^{2n'}(-1)^kk^3\equiv \sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\pmod 5$ $(1)$
Para ver esto, basta ver que
$\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv \sum \limits _{k=1}^{2(n+5)}(-1)^kk^3\pmod 5$ $(2)$
pues la diferencia entre dos números congruentes módulo $5$ es (por definición) un múltiplo de $5$, de donde podemos utilizar una cantidad finita de veces la ecuación $(2)$ para obtener la ecuación $(1)$.
Ver que se cumple $(2)$ es equivalente a ver $$\sum \limits _{k=1}^{2(n+5)}(-1)^kk^3-\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv 0\pmod 5$$ luego, basta ver $$(-1)^{2n+1}(2n+1)^3+(-1)^{2n+2}(2n+2)^3+(-1)^{2n+3}(2n+3)^3+(-1)^{2n+4}(2n+4)^3+(-1)^{2n+5}(2n+5)^3+(-1)^{2n+6}(2n+6)^3+(-1)^{2n+7}(2n+7)^3+(-1)^{2n+8}(2n+8)^3+(-1)^{2n+9}(2n+9)^3+(-1)^{2n+10}(2n+10)^3\equiv 0\pmod 5$$ es decir, basta ver $$-(2n+1)^3+(2n+2)^3-(2n+3)^3+(2n+4)^3-(2n+5)^3+(2n+6)^3-1(2n+7)^3+(2n+8)^3-1(2n+9)^3+(2n+10)^3\equiv 0\pmod 5$$
Pero como $$2n+1\equiv 2n+6\pmod 5\Rightarrow (2n+1)^3\equiv (2n+6)^3\pmod 5$$ $$2n+2\equiv 2n+7\pmod 5\Rightarrow (2n+2)^3\equiv (2n+7)^3\pmod 5$$ $$2n+3\equiv 2n+8\pmod 5\Rightarrow (2n+3)^3\equiv (2n+8)^3\pmod 5$$ $$2n+4\equiv 2n+9\pmod 5\Rightarrow (2n+4)^3\equiv (2n+9)^3\pmod 5$$ $$2n+5\equiv 2n+10\pmod 5\Rightarrow (2n+5)^3\equiv (2n+10)^3\pmod 5$$
resulta que lo que queríamos ver es cierto. Luego la ecuación $(1)$ es cierta. Además, si $n'\equiv n\pmod 5$, entonces $3n'-9\equiv 3n-9\pmod 5$. Luego, basta ver los casos $n=1,2,3,4,5$ para ver cuáles son solución.

Caso 1: $n=1$
Spoiler: mostrar
Como $$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 1}(-1)^kk^3=7\equiv 2\pmod 5$$ y $$3\cdot 1-9=-6\equiv 4\pmod 5$$ en este caso no hay soluciones.
Caso 2: $n=2$
Spoiler: mostrar
Como $$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 2}(-1)^kk^3=44\equiv 4\pmod 5$$ y $$3\cdot 2-9=-3\equiv 2\pmod 5$$ en este caso no hay soluciones.
Caso 3: $n=3$
Spoiler: mostrar
Como $$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 3}(-1)^kk^3=135\equiv 0\pmod 5$$ y $$3\cdot 3-9=0\equiv 0\pmod 5$$ todos los $n\equiv 3\pmod 5$ verifican la ecuación modular del enunciado.
Caso 4: $n=4$
Spoiler: mostrar
Como $$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 4}(-1)^kk^3=304\equiv 4\pmod 5$$ y $$3\cdot 4-9=3\equiv 3\pmod 5$$ en este caso no hay soluciones.
Caso 5: $n=5$
Spoiler: mostrar
Como $$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 5}(-1)^kk^3=575\equiv 0\pmod 5$$ y $$3\cdot 5-9=6\equiv 1\pmod 5$$ en este caso no hay soluciones.
Habiendo visto todos los casos, queda demostrado que los $n$ que verifican la ecuación modular del enunciado son exactamente los que verifican $n\equiv 3\pmod 5$. $\blacksquare$
[math]

Responder