Número de Oro 2019 - P3

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2019 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 5:57 pm

Dado el triángulo $ABC$ de lados $a,b,c$ construya con regla y compás un triángulo de igual perímetro y mayor área.
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Turko Arias

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Re: Número de Oro 2019 - P3

Mensaje sin leer por Turko Arias » Sab 07 Sep, 2019 11:09 pm

Me pareció medio ambiguo el problema en $a, b, c$ sobre si eran distintas o no, por lo que tiro dos soluciones una que calce exactamente en cada caso, en ambos casos, más que los pasos para la construcción, siempre me pareció más "interesante" la manera de probar que el triángulo que construíamos era mejor, por lo que no voy a dar super detalles sobre la parte de regla y compás, si alguno tiene problemas con el compás que tome clases de baile :lol: :lol: :lol:

Si el triángulo no necesariamente es escaleno:
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Vamos a probar que si tenemos un triángulo de lados $BC=a, AC=b, AB=c$, entonces el triángulo $XYZ$ con $XY=YZ=XZ=\frac{a+b+c}{3}$ cumple que $(ABC) \leq (XYZ)$. Sea $p$ el semiperímetro de $ABC$. Por la Fórmula de Herón, queremos maximizar $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Claramente maximizar esto implica maximizar $S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$, pero como $p$ está fijo, al fin de cuentas tenemos que maximizar $(p-a)(p-b)(p-c)$....... Algo se asoma en el horizonte....... Es un águila? Es un avión? No! Es Perón que mira con tristeza como resolvemos con álgebra un problema de geometría. Tirando AM-GM tenemos que $\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)} \leq \frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}=\frac{p}{3}$, por lo que $(p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{p^3}{27}$, con igualdad únicamente si $p-a=p-b=p-c$, de donde $a=b=c$ nos da el área máxima, y por ende, el equilatero es el de mayor área.

Ahora bien, dado $ABC$ tenemos que construirnos el equilatero de perímetro igual a $ABC$. Trazamos la circunferencia de radio $AB$ y centro $B$ y la circunferencia de radio $AC$ y centro $C$ y prolongamos $BC$ hasta que las corte, y quedan marcados los puntos $B'$ y $C'$ tales que $B'B=AB$, $C'C=AC$ y los puntos aparecen en el orden $B', B, C, C'$. Tenemos que $B'C'=a+b+c$, queremos marcar $G$ tal que $B'G=2C'G$. Consideramos la circunferencia de centro $C'$ y algún radio que pinte, digamos $r$. Trazamos algún diámetro $DE$, y construímos el triángulo $BDE$. Por construcción $BC$ es mediana de $DE$. Es conocido que con regla y compás se puede bisecar un segmento... Marcamos entonces $N$ punto medio de $BE$, sea $G$ la intersección de $DN$ con $BC$, como $G$ es baricentro vale que $B'G=2C'G$, y por como fue construído, $C'G=\frac{a+b+c}{3}$. Trazamos ahora la circunferencia de radio $C'G$ y centro $C'$ y la circunferencia de radio $C'G$ y centro $G$, tomando una de sus intersecciones, digamos $W$, es claro que $WC'G$ es equilatero y su lado mide $\frac{a+b+c}{3}$ por lo que ya tenemos lo buscado $\blacksquare$
Si el triángulo es escaleno
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Vamos a probar que si tenemos un triángulo de lados $BC=a, AC=b, AB=c$, entonces el triángulo isósceles $XYZ$ con $XY=YZ=\frac{a+b}{2}$ y $XZ=c$ cumple que $(ABC) \leq (XYZ)$, y cuando digo "vamos a probar" quiero decir "vamos adjuntar un dibujito donde se ve como las cosas pasan, así que no voy a anotar cuentas porque ya está re largo este post".
Consideremos la elipse de focos $A$ y $B$ que pasa por $C$, por definición de elipse, cualquier punto $P$ sobre ella va a cumplir que $PA+PB=a+b$, además, todos los triángulos $ABP$, con $P$ sobre la elipse, comparten la base $AB$, y lo que va cambiando es la altura. Sea $M$ punto medio de $AB$, $D$ el pie de la perpendicular a la recta $AB$ por $C$ y $X$ una intersección de la mediatriz de $AB$ con la elipse. Trazamos la tangente a la elipse por $X$, tenemos que esta tangente es paralela a $AB$, por lo que viendo la figura tenemos que $CD \leq XM$ con igualdad solo si $D=X$ (miramos solo la mitad de arriba de la elipse), luego $(ABC) \leq (ABX)$.
P3 N. Oro.png
Ahora, dado $ABC$ construyamos isósceles $ABX$ tal que $AX=BX=\frac{a+b}{2}$. Con regla y compás podemos trasladar segmentos, tracemos un segmento $DE$ en algún lugar de la hoja, tal que $DE=BC$, tracemos ahora la circunferencia de radio $AC$ y centro $E$ y sea $F$ la intersección de $DE$ con dicha circunferencia, con $E$ entre $D$ y $F$. Marcamos ahora $M$ punto medio de $DF$, tenemos que $DM=\frac{a+b}{2}$. Volvemos ahora a nuestro triángulo $ABC$, y trazamos la circunferencia de centro $A$ y radio $DM$ y la circunferencia de centro $B$ y radio $DM$, y sea $X$ una de sus intersecciones, tenemos entonces $AB=c, AX=BX=\frac{a+b}{2}$, y por lo que vimos antes este triángulo cumple que $(ABC) \leq (ABX)$ y estamos $\blacksquare$
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Gianni De Rico

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Re: Número de Oro 2019 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 08 Sep, 2019 12:12 am

Turko Arias escribió:
Sab 07 Sep, 2019 11:09 pm
Si el triángulo no necesariamente es escaleno:
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Ahora bien, dado $ABC$ tenemos que construirnos el equilatero de perímetro igual a $ABC$. Trazamos la circunferencia de radio $AB$ y centro $B$ y la circunferencia de radio $AC$ y centro $C$ y prolongamos $BC$ hasta que las corte, y quedan marcados los puntos $B'$ y $C'$ tales que $B'B=AB$, $C'C=AC$ y los puntos aparecen en el orden $B', B, C, C'$. Tenemos que $B'C'=a+b+c$, queremos marcar $G$ tal que $B'G=2C'G$. Consideramos la circunferencia de centro $C'$ y algún radio que pinte, digamos $r$. Trazamos algún diámetro $DE$, y construímos el triángulo $BDE$. Por construcción $BC$ es mediana de $DE$. Es conocido que con regla y compás se puede bisecar un segmento... Marcamos entonces $N$ punto medio de $BE$, sea $G$ la intersección de $DN$ con $BC$, como $G$ es baricentro vale que $B'G=2C'G$, y por como fue construído, $C'G=\frac{a+b+c}{3}$. Trazamos ahora la circunferencia de radio $C'G$ y centro $C'$ y la circunferencia de radio $C'G$ y centro $G$, tomando una de sus intersecciones, digamos $W$, es claro que $WC'G$ es equilatero y su lado mide $\frac{a+b+c}{3}$ por lo que ya tenemos lo buscado $\blacksquare$
Me pareció más fácil
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Sumás los segmentos $a,b,c$ y dividís por $3$ (recordar que con regla y compás podemos dividir por cualquier natural $n$). De ahí te hacés un triágnulo equilátero con esa medida, y listo.
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Fran5

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Re: Número de Oro 2019 - P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 08 Sep, 2019 2:14 pm

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Resolviendo con álgebra un problema de geometría (analítica?) en el certamen número de oro.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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