Número de Oro 2019 - P4

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2019 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 5:59 pm

Sean $n$ un entero positivo y $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+1$ un polinomio con coeficientes reales no negativos tal que sus $n$ raíces son reales.
Pruebe que la suma de sus coeficientes es mayor o igual que $2^n$.
[math]

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MateoCV

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Re: Número de Oro 2019 - P4

Mensaje sin leer por MateoCV » Dom 08 Sep, 2019 1:12 pm

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Veamos primero que todas las raíces del polinomio son negativas:

Supongamos que existe $r\geq 0$ tal que $P(r)=0$. Como $a_i\geq 0$ y $r^i\geq 0$ para todo $i$ entonces $0=P(r)=r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_1r+1\geq 1$. Absurdo. Luego todas las raíces del polinomio son negativas.

Sean $r_1, r_2, \ldots , r_n$ las $n$ raíces reales del polinomio. Por las fórmulas de Vieta, tenemos ahora que $(-r_1)(-r_2)\ldots (-r_n)=1$.
Aplicando nuevamente las fórmulas de Vieta tenemos que
$$a_i=\sum_{1\leq j_1<j_2<\ldots<j_{n-i}\leq n}(-r_{j_1})(-r_{j_2})\ldots (-r_{j_{n-i}})=\sum_{1\leq j_1<j_2<\ldots<j_{n-i}\leq n} \frac{1}{(-r_{k_1})(-r_{k_2})\ldots (-r_{k_{i}})}$$
donde $\{k_1,k_2,\ldots,k_i\}$ es el complemento de $\{j_1,j_2,\ldots,j_{n-i}\}$ con respecto a $\{1,2,\ldots ,n\}$. Entonces,
$$a_i=\sum_{1\leq k_1<k_2<\ldots<k_{i}\leq n} \frac{1}{(-r_{k_1})(-r_{k_2})\ldots (-r_{k_{i}})}$$
Luego,
$$a_i+a_{n-i}=\sum_{1\leq k_1<k_2<\ldots<k_{i}\leq n} \frac{1}{(-r_{k_1})(-r_{k_2})\ldots (-r_{k_{i}})}+\sum_{1\leq j_1<j_2<\ldots<j_{i}\leq n}(-r_{j_1})(-r_{j_2})\ldots (-r_{j_{i}})$$
$$=\sum_{1\leq j_1<j_2<\ldots<j_{i}\leq n}\left ( \frac{1}{(-r_{j_1})(-r_{j_2})\ldots (-r_{j_{i}})}+(-r_{j_1})(-r_{j_2})\ldots (-r_{j_{i}}) \right )$$
$$\geq \sum_{1\leq j_1<j_2<\ldots<j_{i}\leq n} 2 $$
$$=2\binom{n}{i}$$
ya que $R=\prod_{k=1}^{i}(-r_{j_k})>0$ porque todas las raíces son negativas y por AM-GM, $R+\frac{1}{R}\geq 2$. También usamos que hay $\binom{n}{i}$ formas de elegir $i$ índices del conjunto $\{1,2,\ldots ,n\}$.
Por lo tanto,
$$1+a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+1= \frac{1}{2}(2a_1+2a_2+\ldots+2a_{n-1}+4)=\frac{1}{2}\left ( \sum_{i=1}^{n-1}(a_i+a_{n-i})+4\right )$$
$$\geq \frac{1}{2}\left ( \sum_{i=1}^{n-1}2\binom{n}{i}+4\right )=\frac{1}{2}\times 2 \left ( \sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}+2\right )=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}+\binom{n}{0}+\binom{n}{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}=2^n$$
$2^{82589933}-1$ es primo

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