Número de Oro 2019 - P6

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2019 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:04 pm

En un bolillero se encuentran todas las bolillas numeradas con cuatro dígitos distintos del conjunto $S=\{1,2,3,4,5,6\}$.
Calcule la probabilidad $P$ de que al extraer aleatoriamente una de tales bolillas, el número correspondiente sea múltiplo de $3$ y los dos números de $S$ que no forman parte de dicho número sean coprimos.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Número de Oro 2019 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:26 pm

Solución:
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Afirmo que $P=\frac{1}{5}$.
Notemos que a priori hay dos posibles interpretaciones del problema. Dos bolitas son la misma si y sólo si están numeradas con el mismo subconjunto de $S$ (es decir, las bolitas $1234$ y $4321$ son la misma), o bien dos bolitas son la misma si y sólo si están numeradas con la misma $4$-upla de números distintos, todos pertenecientes a $S$ (es decir, las bolitas $1234$ y $4321$ son distintas). Pero si $n$ es la cantidad de bolitas que cumplen lo pedido y $N$ es la cantidad de bolitas que hay en el bolillero en el primer caso, y definimos análogamente $n'$ y $N'$ para el segundo caso. Tenemos que $n'=4!n$ y $N'=4!N$, de donde $$\frac{n'}{N'}=\frac{4!n}{4!N}=\frac{n}{N}$$ y por Laplace, la probabilidad es la misma en ambos casos, luego, podemos considerar solamente el primer caso.

Hay $N=\binom{6}{2}=15$ posibles subconjuntos de $2$ elementos de $S$, de los cuales solamente $\{1,2\}$, $\{1,5\}$ y $\{4,5\}$ cumplen con la propiedad de que sus elementos son coprimos y su suma es múltiplo de $3$, pero como $1+2+3+4+5+6=21\equiv 0\pmod 3$, entonces la probabilidad buscada es la misma que la probabilidad de que los dos elementos sobrantes de $S$ sean coprimos y que su suma sea múltiplo de $3$, luego $P=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$. $\blacksquare$
[math]

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