Número de Oro 2019 - P8

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2019 - P8

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:09 pm

Sea $n$ un número natural. Determine condiciones suficientes sobre $n$ para que
$S=1+2+\ldots +n$ divida a $P=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$.
[math]

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Turko Arias

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Re: Número de Oro 2019 - P8

Mensaje sin leer por Turko Arias » Sab 07 Sep, 2019 9:44 pm

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Vamos a trabajar con $n \geq 2$ y el caso $1$ después lo vemos.
Tenemos $S=\frac{n(n+1)}{2}$, $P=n!$, queremos $S|P$. Notemos que si $n+1=q$ con $q$ primo impar, entonces claramente $q$ es coprimo con todos los enteros menores que el, por lo que es coprimo con cada factor de $n!$, luego $q \nmid P$ y por ende $q \frac{n}{2} \nmid P$.
Sea $q$ un primo impar divisor de $n+1$:
-Si $\frac{n+1}{q}\not= q$, definimos $\frac{n+1}{q}=k$. Claramente $n$ y $n+1$ son coprimos, por lo que $\frac{n}{2}$ y $k$ son coprimos, al igual que $\frac{n}{2}$ y $q$, por lo que los tres son distintos y menores que $n$ y por ende aparecen como factores en $n!$, por lo que $S|P$.
-Si $\frac{n+1}{q}=q$, como $q$ es primo impar, $2q<q^2$, por lo que $2p<n$ (no podría ser que $n$ y $n+1$ sean divisibles por $q$), pero entonces, $q$ y $\frac{n}{2}$ son coprimos y $v_q(n!) \geq 2$, por lo que $S|P$.

Ahora supongamos que no existe un $q$ cumpliendo lo pedido, luego $n+1$ es potencia de dos, y por ende $\frac{n+1}{2}<n$, por lo que $\frac{n+1}{2}$ está como factor en $n!$ y nos queda que $\frac{n+1}{q}$ y $n$ son factores distintos de $n!$, por lo que en este caso también $S|P$.
Por último, si $n=1, S=1, P=1$ por lo que $S|P$.

Luego, los $n$ que no funcionan son los que cumplen que $n+1$ es un primo impar, el resto sirven todos :D :D :D
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