Número de Oro 2019 - P9

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2019 - P9

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:12 pm

Sea la sucesión de Fibonacci definida por
$F_1=F_2=1$ y $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, para $n\geqslant 1$
Pruebe que para cada natural $n\geqslant 2$ se verifica la igualdad $$\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k=nF_{n+1}-F_n$$.
[math]

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Re: Número de Oro 2019 - P9

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:32 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Veamos por inducción en $n$ que si $n\geqslant 2$ entonces se verifica la igualdad del enunciado.
El caso base $n=2$ es cierto pues $$\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k=\sum \limits _{k=1}^{2-1}(k+2)F_k=\sum \limits _{k=1}^1(k+2)F_k=(1+2)F_1=3F_1=3=4-1=2\cdot 2-1=2\cdot F_3-F_2=n\cdot F_{n+1}-F_n$$
Supongamos como hipótesis inductiva que vale para $n$. Veamos que vale para $n+1$.
En efecto $$\sum \limits _{k=1}^{(n+1)-1}(k+2)F_k=\sum \limits _{k=1}^n(k+2)F_k=(n+2)F_n+\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k\underset{\text{HI}}{=}(n+2)F_n+nF_{n+1}-F_n=(n+1)(F_n+F_{n+1})-F_{n+1}=(n+1)F_{n+2}-F_{n+1}$$
La inducción está completa, luego, para cada natural $n\geqslant 2$ se verifica la igualdad del enunciado. $\blacksquare$
[math]

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