Número de Oro 2019 - P10

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2019 - P10

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:15 pm

Pruebe que existe un rectángulo áureo cuyas diagonales tienen longitud $\sqrt{11\varphi +7}$, siendo $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ el Número de Oro.

Aclaración:
Se llama rectángulo áureo a un rectángulo cuyos lados, de longitudes $a,b$, con $a>b$, verifican $\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Número de Oro 2019 - P10

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:34 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Sea $ABCD$ un triángulo de lados $AB=1$ y $AD=\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, y sea $AB'C'D'$ el rectángulo que se obtiene al aplicarle una homotecia de centro $A$ y razón $\frac{\sqrt{11\varphi +7}}{\sqrt{\varphi +2}}$ al rectángulo $ABCD$. Afirmo que el rectángulo $AB'C'D'$ verifica las condiciones del enunciado, y por lo tanto dicho rectángulo existe.
Veamos que es un rectángulo áureo.
En efecto, como las homotecias preservan razones y ángulos, tenemos que $AB'C'D'$ es un rectángulo, y que $$\frac{AD'}{AB'}=\frac{AD}{AB}=\frac{\varphi}{1}=\varphi$$
Veamos que $B'D'=\sqrt{11\varphi +7}$.
En efecto, como $B'D'$ es la imagen de $BD$ por la homotecia, tenemos que $$B'D'=BD\frac{\sqrt{11\varphi +7}}{\sqrt{\varphi +2}}$$ por lo que basta ver que $BD=\sqrt{\varphi +2}$.
Como $\varphi$ es raíz del polinomio áureo $$x^2=x+1$$ se tiene que $\varphi ^2=\varphi +1$, de donde $$\varphi ^2+1=\varphi +2$$
Por Pitágoras en $ABD$ tenemos que $$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{\varphi ^2+1}=\sqrt{\varphi +2}$$
entonces $$B'D'=BD\frac{\sqrt{11\varphi +7}}{\sqrt{\varphi +2}}=\sqrt{\varphi +2}\frac{\sqrt{11\varphi +7}}{\sqrt{\varphi +2}}=\sqrt{11\varphi +7}$$
Por lo tanto, el rectángulo $AB'C'D'$ verifica las hipótesis del enunciado, luego, existe. $\blacksquare$
Número de Oro 2019 P10 - Figura de análisis.png
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Fran5

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Re: Número de Oro 2019 - P10

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 08 Sep, 2019 2:07 pm

Bonito problema que expresa una vez más las relaciones entre los números de Fibonacci y los números de Lucas
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Vladislao

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Re: Número de Oro 2019 - P10

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 08 Sep, 2019 7:41 pm

No entendi muy bien la gracia de este problema. O sea, para cualquier cociente $\frac{a}{b}$ y cualquier número $c$ hay un rectángulo de diagonal $c$ y cociente entre los lados $\frac{a}{b}$. O sea, básicamente te armás un rectángulo cualquiera con esa proporción de lados y le hacés la homotecia correspondiente que te deje la diagonal en la longitud pedida.
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Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

LuchoLP

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Re: Número de Oro 2019 - P10

Mensaje sin leer por LuchoLP » Dom 08 Sep, 2019 11:18 pm

Vladislao escribió:
Dom 08 Sep, 2019 7:41 pm
No entendi muy bien la gracia de este problema. O sea, para cualquier cociente $\frac{a}{b}$ y cualquier número $c$ hay un rectángulo de diagonal $c$ y cociente entre los lados $\frac{a}{b}$. O sea, básicamente te armás un rectángulo cualquiera con esa proporción de lados y le hacés la homotecia correspondiente que te deje la diagonal en la longitud pedida.
Creo que nadie entendió muy bien la gracia de la prueba en general :lol:
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