ρ: Constante de los números primos

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Yanes

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ρ: Constante de los números primos

Mensaje sin leer por Yanes » Mié 11 Dic, 2019 3:28 pm

Sea $\mathbb{P}=\{p\in \mathbb{N}-\{ 1 \}~/~\nexists ~d\in \mathbb{N}-\{p\}~/~d\mid p\}$ el conjunto de los numeros primos

Sea $\rho = \sum \limits _{p \in \mathbb{P}}{} \frac{1}{2^p}$

$\Rightarrow \rho = 0,01101010001010001010001...$ en base $2$

Las decimales en posición primo son $1$ y en posición compuesto son $0$

Demostración:
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Sea $f:\mathbb{N}\rightarrow \{0;1\}$
$f(n)=1~\forall n\in \mathbb{P}$
$f(n)=0~\forall n\notin \mathbb{P}$

Sea $\rho=\sum \limits _{k=1}^{\infty}\frac{f(k)}{2^k}$

Es evidente que $\sum \limits _{k=1}^{\infty}\frac{f(k)}{2^k}=\sum \limits _{p \in \mathbb{P}}\frac{1}{2^p}$

Lo cambiamos a base $2$

${\left (\sum \limits _{k=1}^{\infty}\frac{f(k)}{2^k}\right)}_{10}={\left (\sum \limits _{k=1}^{\infty}\frac{f(k)}{10^k}\right )}_{2}$

Sea $p\in \mathbb{P}$ y $c\notin \mathbb{P}$

${\left (\sum \limits _{k=1}^{\infty}\frac{f(k)}{10^k}\right )}_{2}={\left (\frac{f(1)}{10^1}+\frac{f(10)}{10^{10}}+\frac{f(11)}{10^{11}}+\frac{f(100)}{10^{100}}+\ldots \right )}_{2}$

$\rho ={\left (\frac{f(c)}{10^1}+\frac{f(p)}{10^{10}}+\frac{f(p)}{10^{11}}+\frac{f(c)}{10^{100}}+\ldots \right )}_{2}$

$\rho ={\left (f(c)\times 0,1+f(p)\times 0,01+f(p)\times 0,001+f(c)\times 0,001+\ldots \right )}_{2}$

Pero $f(p)=1$ y $f(c)=0$

$\rho ={\left (0\times 0,1+1\times 0,01+1\times 0,001+0\times 0,0001+\ldots \right )}_{2}$

$\rho ={\left (0,0+0,01+ 0,001+0,0000+0,00001+\ldots \right )}_{2}$

Es evidente que los términos en posición primo no son nulos y de los compuestos son nulos

También es evidente que no hay acarreo, por lo tanto las decimales en posición primo no son nulas y de los compuestos si lo son

$\Rightarrow \rho = 0,01101010001010001010001\ldots _2$

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