ρ: Constante de los números primos

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Yanes
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ρ: Constante de los números primos

Mensaje sin leer por Yanes » Mié 11 Dic, 2019 3:28 pm

Sea $ \mathbb{P} $ el conjunto de los numeros primos

Sea $\rho = \sum \limits _{p \in \mathbb{P}}{} \frac{1}{2^p}$

$\Rightarrow \rho = 0,01101010001010001010001...$ en base 2

Las decimales en posición primo son 1 y en posición compuesto son 0

Demostración:
Spoiler: mostrar
Sea $f: \mathbb{N} \rightarrow \{0 ; 1 \} $
$f(n)=1 $ $\forall n \in \mathbb{P}$
$f(n)=0 $ $ \forall n \notin \mathbb{P}$

Sea $\rho = \sum \limits _{k=1}^{\infty} \frac{f(k)}{2^k} $

Es evidente que $\sum \limits _{k=1}^{\infty} \frac{f(k)}{2^k} = \sum \limits _{p \in \mathbb{P}}{} \frac{1}{2^p}$

Lo cambiamos a base 2

$ {\left (\sum \limits _{k=1}^{\infty} \frac{f(k)}{2^k} \right)}_{10} = {\left (\sum \limits _{k=1}^{\infty} \frac{f(k)}{10^k} \right )}_{2} $

Sea $p \in \mathbb{P}$ y $ c \notin \mathbb{P}$

${\left (\sum \limits _{k=1}^{\infty} \frac{f(k)}{10^k} \right )}_{2} = {\left (\frac{f(1)}{10^1}+\frac{f(10)}{10^{10}}+\frac{f(11)}{10^{11}}+\frac{f(100)}{10^{100}}+...\right )}_{2}$

$\rho = {\left (\frac{f(c)}{10^1}+\frac{f(p)}{10^{10}}+\frac{f(p)}{10^{11}}+\frac{f(c)}{10^{100}}+...\right )}_{2} $

$\rho = {\left (f(c) \times 0,1+f(p)\times 0,01+f(p)\times 0,001+f(c)\times 0,0001+...\right )}_{2} $

Pero $f(p) =1$ y $f(c)=0$

$\rho = {\left (0 \times 0,1+1\times 0,01+1\times 0,001+0\times 0,0001+...\right )}_{2} $

$\rho = {\left (0,0+0,01+ 0,001+0,0000+0,00001...\right )}_{2} $

Es evidente que los terminos en posición primo no son nulos y de los compuestos son nulos

También es evidente que no hay acarreo, por lo tanto las decimales en posición primo no son nulas y de los compuestos si lo son

$\Rightarrow \rho = 0,01101010001010001010001..._2$

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