Fórmula de Euler para funciones homogeneas

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Yanes
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Fórmula de Euler para funciones homogeneas

Mensaje sin leer por Yanes » Mié 11 Dic, 2019 8:43 pm

Sea $f: Dom \subset \mathbb{R}^n \rightarrow Im \subset \mathbb{R} $

$/~ f(tx_1;tx_2;...;tx_n)=t^hf(x_1;x_2; ... ;x_n)$

tal que $h$ es el grado de homogeneidad de $f$

$\Rightarrow \overrightarrow{ \nabla }f $•$ (x_1;x_2;...;x_n)=hf(x_1;x_2; ... ;x_n)$

Demostración:
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Tomamos $ f(y_1;y_2;...;y_n)$ / $y_i=tx_i$ y calculamos la derivada total:

$\frac{d}{dt}f(y_1;y_2;...;y_n) = \overrightarrow{ \nabla }f$•$ \left( \frac{d}{dt}y_1;\frac{d}{dt}y_2;...;\frac{d}{dt}y_n \right)$

$\frac{d}{dt}f(tx_1;tx_2;...;tx_n) = \overrightarrow{ \nabla }f$•$ \left( \frac{d}{dt}(tx_1);\frac{d}{dt}(tx_2);...;\frac{d}{dt}(tx_n) \right)$

$\frac{d}{dt}(t^hf(x_1;x_2; ... ;x_n)) = \overrightarrow{ \nabla }f$•$ \left( x_1\frac{d}{dt}t;x_2\frac{d}{dt}t;...;x_n\frac{d}{dt}t \right)$

$f(x_1;x_2; ... ;x_n)\frac{d}{dt}t^h = \overrightarrow{ \nabla }f$•$ \left( x_1;x_2;...;x_n \right)$

$f(x_1;x_2; ... ;x_n)ht^{h-1} = \overrightarrow{ \nabla }f$•$ \left( x_1;x_2;...;x_n \right)$

Hacemos $t=1$:

$f(x_1;x_2; ... ;x_n)h.1^{h-1} = \overrightarrow{ \nabla }f$•$ \left( x_1;x_2;...;x_n \right)$

$hf(x_1;x_2; ... ;x_n) = \overrightarrow{ \nabla }f$•$ \left( x_1;x_2;...;x_n \right)$

Como pasamos de $tx_i$ a $x_i$ , el gradiente $\overrightarrow{ \nabla }f$ no cambia

$\Rightarrow \overrightarrow{ \nabla }f $•$ (x_1;x_2;...;x_n)=hf(x_1;x_2; ... ;x_n)$

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