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Fórmula de Euler para funciones homogeneas

Publicado: Mié 11 Dic, 2019 8:43 pm
por Yanes
Sea $f:\text{Dom}\subseteq \mathbb{R}^n\to \text{Im}\subseteq \mathbb{R}$

$/~f\left (tx_1;tx_2;\ldots ;tx_n\right )=t^hf\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )$

tal que $h$ es el grado de homogeneidad de $f$

$\Rightarrow \overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )=hf\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )$

Demostración:
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Tomamos $f\left (y_1;y_2;\ldots ;y_n\right )~/~y_i=tx_i$ y calculamos la derivada total:

$\frac{d}{dt}f\left (y_1;y_2;\ldots ;y_n\right )=\overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (\frac{d}{dt}y_1;\frac{d}{dt}y_2;\ldots ;\frac{d}{dt}y_n\right )$

$\frac{d}{dt}f\left (tx_1;tx_2;\ldots ;tx_n\right )=\overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (\frac{d}{dt}(tx_1);\frac{d}{dt}(tx_2);\ldots ;\frac{d}{dt}(tx_n)\right )$

$\frac{d}{dt}\left (t^hf\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )\right )=\overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (x_1\frac{d}{dt}t;x_2\frac{d}{dt}t;\ldots ;x_n\frac{d}{dt}t\right )$

$f\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )\frac{d}{dt}t^h=\overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right)$

$f\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )ht^{h-1}=\overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )$

Hacemos $t=1$:

$f\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )h\cdot 1^{h-1}=\overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )$

$hf\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )=\overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )$

Como pasamos de $tx_i$ a $x_i$, el gradiente $\overrightarrow{\nabla }f$ no cambia

$\Rightarrow \overrightarrow{\nabla }f\cdot \left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )=hf\left (x_1;x_2;\ldots ;x_n\right )$