Raíz cuadrada de un número primo es irracional

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Yanes

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Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por Yanes » Sab 25 Ene, 2020 4:20 pm

Sea $\mathbb{P}=\{p\in \mathbb{N}-\{ 1 \}~/~\nexists ~d\in \mathbb{N}-\{p;1\}~/~d\mid p\}$ (Conjunto de los números primos ordenados de menor a mayor)
Sea $\mathbb{I}=\{t\in \mathbb{R}~/~\nexists ~a,b\in \mathbb{Z}~/~\frac{a}{b}=t\}$ (Conjunto de los números irracionales)
Sea $p\in \mathbb{P}\Rightarrow \sqrt{p}\in \mathbb{I}$
Demostración:
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Haremos una reducción al absurdo, supongamos que $\sqrt{p}$ es racional $\Rightarrow \exists ~a,b\in \mathbb{Z}~/~\text{mcd}(a;b)=1,~\frac{a}{b}=\sqrt{p}$
$\Rightarrow p=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow pa^2=b^2$
Aplicando el teorema fundamental de la aritmética:
Sea $b\in \mathbb{N}$, $p_i\in \mathbb{P}$ tal que $p_i$ es el $i$-ésimo elemento de $\mathbb{P}$ y $k_i\in \mathbb{N}_0$
$\Rightarrow b=\prod \limits _{i=1}^{\infty}p_i^{k_i}\Rightarrow b^2=\prod \limits _{i=1}^{\infty}p_i^{2k_i}$
Si $h_i\in \mathbb{N}_0\Rightarrow a^2=\prod \limits _{i=1}^{\infty}p_i^{2h_i}$
Es evidente que: $\exists !~m\in \mathbb{N}~/~p_m=p$
En $a^2$: El factor $p_m$ tiene exponente par, añadiendo el factor $p=p_m$, entonces $p_m$ tendrá exponente impar
En $b^2$: El factor $p_m$ tiene exponente par, pero en $a^2p$, el factor $p_m$ tiene exponente impar
Esto genera una contradicción al afirmar que $\sqrt{p}$ es racional, por lo tanto $\sqrt{p}$ es irracional.
Última edición por Yanes el Jue 06 Feb, 2020 3:00 pm, editado 2 veces en total.

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julicapo100

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por julicapo100 » Jue 30 Ene, 2020 10:59 pm

No usaste que p es primo, esta demostracion vale para todo numero que no sea un cuadrado perfecto
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BrunZo

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por BrunZo » Vie 31 Ene, 2020 12:15 pm

Me parece que hay un error.
Spoiler: mostrar
Contraejemplo: $\sqrt{1}=1$.
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Yanes

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por Yanes » Sab 01 Feb, 2020 4:29 pm

BrunZo escribió:
Vie 31 Ene, 2020 12:15 pm
Me parece que hay un error.
Spoiler: mostrar
Contraejemplo: $\sqrt{1}=1$.
1 no es primo

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Yanes

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por Yanes » Sab 01 Feb, 2020 4:37 pm

julicapo100 escribió:
Jue 30 Ene, 2020 10:59 pm
No usaste que p es primo, esta demostracion vale para todo numero que no sea un cuadrado perfecto
Todo numero primo no es un cuadrado perfecto

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Sandy

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 01 Feb, 2020 6:28 pm

Yanes escribió:
Sab 01 Feb, 2020 4:29 pm
1 no es primo
$\{1\in \mathbb{N}~/~\nexists ~d\in \mathbb{N}-\{1; 1\}~/~d\mid 1\}\iff 1\in\mathbb{P}$
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Yanes

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por Yanes » Sab 01 Feb, 2020 7:12 pm

Sandy escribió:
Sab 01 Feb, 2020 6:28 pm
Yanes escribió:
Sab 01 Feb, 2020 4:29 pm
1 no es primo
$\{1\in \mathbb{N}~/~\nexists ~d\in \mathbb{N}-\{1; 1\}~/~d\mid 1\}\iff 1\in\mathbb{P}$
Gracias por la observación, ya lo corregí

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Sandy

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 01 Feb, 2020 11:17 pm

Yanes escribió:
Sab 01 Feb, 2020 7:12 pm
Sandy escribió:
Sab 01 Feb, 2020 6:28 pm
Yanes escribió:
Sab 01 Feb, 2020 4:29 pm
1 no es primo
$\{1\in \mathbb{N}~/~\nexists ~d\in \mathbb{N}-\{1; 1\}~/~d\mid 1\}\iff 1\in\mathbb{P}$
Gracias por la observación, ya lo corregí
Éste es el mensaje que tenés que corregir:
Yanes escribió:
Sab 01 Feb, 2020 4:29 pm

1 no es primo
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Gregorio

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Re: Raíz cuadrada de un número primo es irracional

Mensaje sin leer por Gregorio » Dom 02 Feb, 2020 1:03 am

BrunZo escribió:
Vie 31 Ene, 2020 12:15 pm
Me parece que hay un error.
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Contraejemplo: $\sqrt{1}=1$.
Ese contraejemplo no sirve porque, según el libro de respuestas del Carrera de Mente, el 1 es un número irracional
irracionales2.png
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