Demostracion - Duda

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
iago_mz
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Demostracion - Duda

Mensaje sin leer por iago_mz »

Buenos dias!
Tengo una duda y espero puedan ayudarme... no logro entender este ejercicio y las demostraciones no se me dan nada bien..
Esta es la consulta:
Sea $A$ una matriz $n\times n$. La matriz $A$ es nilpotente, es decir, $A^m=0$ para un cierto $m\in \mathbb{N}$,
donde $0$ es la matriz nula $n\times n$.
a) Probar que $A$ es singular.
b) Probar que $I_n=(I_n−A)(I_n+A+A^2+\cdots +A^{m−1})$.
c) ¿Es $I_n−A$ singular?

Muchas Gracias
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Gianni De Rico

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Re: Demostracion - Duda

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Esto la verdad que parece tarea, pero las matrices pueden llegar a asustar mucho cuando recién las conocés, así que esta vez lo voy a hacer.

a) Fijate que $0=\det (A^m)=(\det A)^m$ porque el determinante del producto es el producto de los determinantes, entonces $\det A=0$, es decir que $A$ es singular.

b) Fijate que$$(I_n-A)(I_n+A+A^2+\cdots +A^{m-1})=I_n-A^m=I_n$$simplemente distribuyendo el producto.

c) Fijate que si $I_n-A$ es singular, entonces $\det (I_n-A)=0$, así que\begin{align*}1 & =\det I_n \\
& =\det ((I_n-A)(I_n+A+A^2+\cdots +A^{m-1})) \\
& =(\det (I_n-A))(\det (I_n+A+A^2+\cdots +A^{m-1})) \\
& =0
\end{align*}o sea que $1=0$, que es un absurdo.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

iago_mz
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Re: Demostracion - Duda

Mensaje sin leer por iago_mz »

Muchass gracias!

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