Uso de Teoremas y Demostraciones en OMA

Acá se puede discutir dudas sobre ejercicios que no son problemas de olimpíadas.
HelcsnewsXD

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Uso de Teoremas y Demostraciones en OMA

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Vie 06 Mar, 2020 3:16 pm

Hola!
Tengo una duda acerca del uso de diferentes teoremas, desigualdades, igualdades, etc. en Oma. Por ejemplo, si quiero usar Cauchy-Schwarz o Schür, ¿tengo que hacer toda la demostración en la prueba también?
Es decir, ¿qué temas deben demostrarse en la prueba? ¿Y cuáles no hacen falta demostrar?

Desde ya, muchas gracias :D
Na, clave la solución :lol:

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Tomás Morcos Porras

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Re: Uso de Teoremas y Demostraciones en OMA

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Vie 06 Mar, 2020 4:47 pm

En mi experiencia, basta con citar el teorema y la fórmula aplicada al problema.
Ejemplo:
Sea $OPQ$ un triángulo rectángulo con $P\hat{Q}O$ recto. Se sabe que $\overline{OP}$ mide $5$ y $\overline{PQ}$ mide $3$. Hallar $\overline{OQ}$.
Spoiler: mostrar
Por Pitágoras, sabemos que para todo triángulo rectángulo $ABC$ con $A\hat{B}C$ recto, se da $\overline{AB}^2+\overline{BC}^2=\overline{AC}^2$. Aplicado a este caso, tenemos que $\overline{OP}^2=\overline{OQ}^2+\overline{PQ}^2$, es decir, $5^2=\overline{OQ}^2+3^2$, y $\overline{OQ}^2=25-9=16$, por lo que $\overline{OQ}=4$.
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

HelcsnewsXD

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Re: Uso de Teoremas y Demostraciones en OMA

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Vie 06 Mar, 2020 5:08 pm

Pitágoras y eso sí, pero no se si hay que demostrar Cauchy, otras desigualdades o el teorema de Turán por ejemplo
Na, clave la solución :lol:

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Joacoini

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Re: Uso de Teoremas y Demostraciones en OMA

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 06 Mar, 2020 6:25 pm

Si alguien te dice que tenés que demostrar Cauchy decile que tengo un diploma que dice lo contrario.
Spoiler: mostrar
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Matías V5

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Re: Uso de Teoremas y Demostraciones en OMA

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 07 Mar, 2020 12:54 pm

HelcsnewsXD escribió:
Vie 06 Mar, 2020 5:08 pm
Pitágoras y eso sí, pero no se si hay que demostrar Cauchy, otras desigualdades o el teorema de Turán por ejemplo
Mi regla para esto es que cualquier teorema o propiedad "con nombre" (léase, que si googleo ese nombre encuentro el enunciado de dicha propiedad o teorema) se puede usar sin demostrar. Ejemplos de esta situación serían el teorema de Pitágoras, el teorema de Turán, la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Puede ser incluso admisible sólo nombrar el teorema sin dar su enunciado general. En el ejemplo de Pitágoras que dio Tomás, creo que también se aceptaría si en vez de
Por Pitágoras, sabemos que para todo triángulo rectángulo $ABC$ con $A\hat{B}C$ recto, se da $\overline{AB}^2+\overline{BC}^2=\overline{AC}^2$. Aplicado a este caso, tenemos que $\overline{OP}^2=\overline{OQ}^2+\overline{PQ}^2$, es decir, $5^2=\overline{OQ}^2+3^2$, y $\overline{OQ}^2=25-9=16$, por lo que $\overline{OQ}=4$.
dijera simplemente
Por Pitágoras, sabemos que $\overline{OP}^2=\overline{OQ}^2+\overline{PQ}^2$, es decir, $5^2=\overline{OQ}^2+3^2$, y $\overline{OQ}^2=25-9=16$, por lo que $\overline{OQ}=4$.
Cuando pasamos a propiedades, lemas o hechos que se consideran "conocidos" pero por lo general no tienen un nombre universal, también se pueden usar sin demostrar, pero el requisito ahora es enunciarlos completamente, para que quede claro que la persona que escribe sabe en qué argumento se apoya su afirmación. Un ejemplo de esto podría ser "es un hecho conocido que el simétrico del ortocentro respecto de un lado del triángulo está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo". Si en la solución se afirma de la nada que $H'$ está en la circunscrita, se corre cierto peligro de que el jurado considere que esa afirmación no estuvo debidamente justificada, que se "adivinó" mirando el dibujo, etcétera.
Otro ejemplo podría ser:

Dudoso
"...y finalmente llegamos a $31!$, que no se puede escribir como la suma de dos cuadrados porque $31 \equiv 3 \pmod{4}$. Esto completa la solución."
Aceptable
"...y finalmente llegamos a $31!$. Veamos que este número no se puede escribir como la suma de dos cuadrados. Es un hecho conocido que un número se puede representar de esta manera si y sólo si todos los primos $4k+3$ tienen exponente par en su factorización. Como $31$ es un primo de la forma $4k+3$ y aparece una sola vez en la factorización de $31!$, no se cumple la condición anterior. Entonces $31!$ no se puede escribir como suma de dos cuadrados, como habíamos afirmado. Esto completa la solución."
Podría pasar que la persona que corrige no conozca la propiedad que usás, pero la idea es que le des algunas herramientas como para que le sea fácil averiguar si efectivamente esa propiedad es conocida.
4  
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

HelcsnewsXD

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Re: Uso de Teoremas y Demostraciones en OMA

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Dom 08 Mar, 2020 5:15 pm

Oka, muchísimas gracias :D
Na, clave la solución :lol:

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