Desigualdad de Cauchy Fraccionario

[Prillo]

La desigualdad de Cauchy en forma fraccionaria, o simplemente la desiguladad de Cauchy Fraccionario es equivalente a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz, sin embargo suele ser puesta en un segundo plano. Pero merece tanto como la otra su propio apunte y su propia demostración.

Desigualdad de Cauchy Fraccionario. Sean [math]a_1,a_2,\dots,a_n y [math]b_1,b_2,\dots,b_n dos sucesiones de números reales positivos, luego se tiene que

[math]\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\dots+\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+\dots+a_n)^2}{b_1+b_2+\dots+b_n}

con igualdad sí y solo sí

[math]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}.

Demostración. Por inducción en [math]n, la cantidad de términos de las sucesiones. El caso [math]n=1 ni nos interesa. Para [math]n=2 simplemente desarrollamos lo que nos piden; nos queda que, tras simplificar,

[math]\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\ge \frac{(a_1+a_2)^2}{b_1+b_2}

[math]\iff a_1^2b_2(b_1+b_2)+a_2^2b_1(b_1+b_2)\ge (a_1+a_2)^2b_1b_2

[math]\iff (a_1b_2-a_2b_1)^2\ge 0

que obviamente se cumple. Más aún, la igualdad se da sí y solo sí [math]a_1b_2-a_2b_1=0, ó lo que es lo mismo, sí y solo sí [math]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}, como queríamos ver.

Ahora, para el paso inductivo, supongamos que vale la desigualdad de Cauchy Fraccionario para todo [math]2\le k\le n y veámosla para [math]n+1. Sean [math]a_1,a_2,\dots,a_{n+1} y [math]b_1,b_2,\dots,b_{n+1} las dos sucesiones. Usamos primero el caso [math]k=2 y después el caso [math]k=n para obtener

[math]\frac{a_1^2}{b_1}+\dots+\frac{a_n^2}{b_n}+\frac{a_{n+1}^2}{b_{n+1}}\ge

[math]\frac{a_1^2}{b_1}+\dots+\frac{a_{n-1}^2}{b_{n-1}}+\frac{(a_n+a_{n+1})^2}{b_n+b_{n+1}}\ge

[math]\frac{(a_1+a_2+\dots+a_{n+1})^2}{b_1+b_2+\dots+b_{n+1}}.

La primera desigualdad tiene igualdad sí y solo sí [math]\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}, y la segunda tiene igualdad sí y solo sí [math]\frac{a_1}{b_1}=\dots=\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}=\frac{a_n+a_{n+1}}{b_n+b_{n+1}}. Estas dos condiciones son equivalentes a pedir [math]\frac{a_1}{b_2}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}, luego la inducción está completa, y esto termina la demostración.

[Gianni De Rico]

Otra demostración (aplicando directamente Cauchy-Schwarz):

Consideremos las sucesiones $x_1,\ldots ,x_n$ e $y_1,\ldots ,y_n$, donde $x_k=\frac{a_k}{\sqrt{b_k}}$ e $y_k=\sqrt{b_k}$, para $k=1,\ldots ,n$.
Entonces $x_ky_k=\frac{a_k}{\sqrt{b_k}}\sqrt{b_k}=a_k$, de modo que por Cauchy-Schwarz tenemos que\begin{align*}(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2 & =\left (\sum \limits _{k=1}^na_k\right )^2 \\
& =\left (\sum \limits _{k=1}^nx_ky_k\right )^2 \\
& \leq \left (\sum \limits _{k=1}^nx_k^2\right )\left (\sum \limits _{k=1}^ny_k^2\right ) \\
& =\left (\sum \limits _{k=1}^n\frac{a_k^2}{b_k}\right )\left (\sum \limits _{k=1}^nb_k\right ) \\
&=\left (\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\right )(b_1+b_2+\cdots +b_n)
\end{align*}y dividiendo por $b_1+b_2+\cdots +b_n$ obtenemos$$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2}{b_1+b_2+\cdots +b_n}$$como queríamos.
La igualdad se da si y sólo si se da en Cauchy-Schwarz, si y sólo si$$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots =\frac{x_n}{y_n}$$si y sólo si$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$$y con eso estamos.