Teorema del Binomio

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Nacho

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Teorema del Binomio

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Dados $x,y\in \mathbb{R}$, y $n\in \mathbb{N}$, luego:$$(x+y)^n=\sum \limits _{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}.$$Demostración:
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Procederemos por inducción. Para $n=1$ no hay nada que probar.
Ahora, supongamos que es cierto para algún $n$. Demostraremos que entonces es cierto para $n+1$, y por lo tanto estamos.
Por hipótesis inductiva:\begin{align*}(x+y)^{n+1} & =(x+y)(x+y)^n \\
& =(x+y)\sum \limits _{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k} \\
& =\sum \limits _{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}y^{n-k}+\sum \limits _{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k+1} \\
& =x^{n+1}+\sum \limits _{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^{k+1}y^{(n+1)-(k+1)}+\sum \limits _{k=1}^n\binom{n}{k}x^ky^{(n+1)-k}+y^{n+1} \\
& =x^{n+1}+y^{n+1}+\sum \limits _{k=1}^n\binom{n}{k-1}x^ky^{n+1-k}+\sum \limits _{k=1}^n\binom{n}{k}x^ky^{n+1-k} \\
& =x^{n+1}+y^{n+1}+\sum \limits _{k=1}^n\left (\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right )x^ky^{n+1-k} \\
& =x^{n+1}+y^{n+1}+\sum \limits _{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^ky^{n+1-k} \\
& =\sum \limits _{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^ky^{n+1-k}.
\end{align*}Y la inducción está completa. $\blacksquare$
"Though my eyes could see I still was a blind man"
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