Maximizar a^m b^n sujeto a a+b=M

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Nacho

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Maximizar a^m b^n sujeto a a+b=M

Mensaje sin leer por Nacho » Lun 23 Jul, 2012 1:30 pm

Estaba mirando la guía de matemática del colegio y proponía el siguiente ejercicio:

"A partir de una hoja cuadrada de cartón de 12dm de lado se quiere construir una caja abierta recortando cuadrados iguales y luego plegando. ¿Cuál será el volumen máximo del que se podrá disponer?"

Básicamente, nos piden maximizar [math]. La idea es que derivando la función [math] e igualando a cero podemos encontrar el máximo, es decir [math], lo que nos da [math] y [math] como máximo.

Pero se puede pensar a este problema de forma elemental. Tratemos de usar la desigualdad entre las medias artimética-geométrica de forma directa primero:

[math]


Sería genial que en el RHS se nos cancelen las [math]. Pero notemos que maximizar [math] es lo mismo que maximizar [math] porque estamos multiplicando por una constante. Si ahora hacemos AM-GM, nos queda:

[math]


con igualdad si y sólo si [math], es decir [math].

Pero veamos que este método se puede extender a maximizar a todas las expresiones de la forma [math] con [math] y [math] con [math] y [math] constante.

Vamos a hacer AM-GM con [math] números iguales a [math] y [math] números iguales a [math]. Son en total [math] números. Obtenemos:

[math]


Pero el LHS es equivalente a [math], es decir [math]. Entonces, se sigue que:

[math]


con igualdad si y sólo si [math], es decir, [math], y como [math], se sigue que [math] y [math]. [math]

En caso que a alguien le interese la manera no-elemental:
Spoiler: mostrar
Consideremos la función [math]. Para hallar el máximo vamos a derivar e igualar a [math]. Usando la regla del producto y la regla de la cadena, obtenemos

[math]


Pero como [math], solo puede pasar que [math]. Esto nos da [math]. Si evaluamos [math] en ese valor, vamos a obtener:

[math]

Por último. vamos a extender esto a [math] variables. Sean [math] reales positivos tales que [math] con [math] fijo. Sean [math]. Queremos maximizar la expresión [math].

Denotamos por [math] al producto de los [math], es decir, [math]. Vamos a hacer AM-GM con [math] números [math]. Es decir:

[math]


Reacomodando los términos:

[math]


Elevando a [math] a ambos lados, obtenemos

[math]


Con igualdad si y sólo si [math] de donde se ve fácilmente que en el caso de igualdad [math] para todo [math]. [math]

Creo que si tratás de hacer eso derivando tenés que usar multiplicadores de Lagrange y te volvés chango (?). En fin, está bueno para ver una de las tantas aplicaciones de AM-GM y lo fuerte que es.
"Though my eyes could see I still was a blind man"

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