Desigualdad de medias

[Caro - V3]

Sean [math]a_{1},a_{2},...,a_{n} números reales positivos.

Se definen:
- Media Cuadrática (QM): [math]\sqrt{\frac{a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2}{n}}

- Media Aritmética (AM): [math]\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}

- Media Geométrica (GM): [math]\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}

- Media Armónica (HM): [math]\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...\frac{1}{a_{n}}}


Y siempre se cumple que:

[math]QM \geq AM \geq GM \geq HM

con igualdad si y sólo si [math]a_{1}=a_{2}=...=a_{n} .



Y para aquellos que les guste generalizar, tenemos:
Media [math]k-ésima ([math]M_{k}):
[math]\left(\frac{a_{1}^k+a_{2}^k+...+a_{n}^k}{n}\right)^\frac{1}{k}
siendo [math]k un número real, distinto de 0.
(aunque se define que la media "0-ésima" es la geométrica)

[math]M_{i} \geq M_{j} \iff i \geq j

[Caro - V3]

A veces está bueno escribir la media armónica de [math]x,y como [math]\frac{2xy}{x+y} .

[Vladislao]

Una demostración muy bonita de que la media potencial de grado k de n números crece monótonamente a medida que k crece:

Medias potenciales

[Ivan]

Usando Cauchy-Schwarz se puede demostrar que [math]AM\leq QM y que vale la igualdad sii [math]a_1=a_2=\ldots =a_n:

Apliquemos Cauchy-Schwarz a los números [math]a_1,\ldots a_n poniendo [math]b_1=\ldots =b_n=1. Se sigue que:

[math]\begin{align*}\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 &\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n 1^2 \right) \Leftrightarrow \\ \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2&\leq n \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \Leftrightarrow \\ \frac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2}{n}&\leq \sum_{i=1}^n a_i^2 \Leftrightarrow\\ \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i}{\sqrt{n}} &\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\Leftrightarrow \frac{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2}{n}&\leq \sum_{i=1}^n a_i^2 \Leftrightarrow\\ \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i}{n}&\leq \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2}{n}} \end{align*}

que es lo que queríamos. Notemos que por Cauchy-Schwarz para que valga la igualdad los [math]a_i deben ser todos iguales.

[Vladislao]

Vamos a demostrar que dados [math]n números reales positivos [math]x_1,...,x_n, y dos números reales positivos [math]p y [math]q con [math]p>q, se cumple que:

[math]\sqrt[q]{\frac{x_1^q+\ldots+x_n^q}{n}}\leq \sqrt[p]{\frac{x_1^p+\ldots+x_n^p}{n}}

Valiendo la igualdad si y sólo si todos los [math]x_i son iguales.

Spoiler: mostrar

Para ver esto, sean [math]a_1,\ldots,a_n números reales positivos.

Consideremos la función [math]f(x)=x^\frac{p}{q} con dominio [math]\mathbb{R}^+.

Es claro que [math]f''(x)=\frac{p}{q}\cdot \left(\frac{p}{q}-1\right)\cdot x^\frac{p-2q}{q}>0 para todo [math]x, pues [math]\frac{p}{q}>1 por hipótesis.

Luego, se tiene que [math]f es una función convexa, por lo tanto, usando la desigualdad de Jensen, vale que:

[math]f\left( \frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right) \leq \frac{f(a_1)+\ldots+f(a_n)}{n}

O sea que:

[math]\left( \frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right)^\frac{p}{q} \leq \frac{a_1^\frac{p}{q}+\ldots+a_n^\frac{p}{q}}{n}

Si llamamos [math]a_i=x_i^q, lo último se reescribe como:

[math]\left( \frac{x_1^q+\ldots+x_n^q}{n}\right)^\frac{p}{q} \leq \frac{x_1^p+\ldots+x_n^p}{n}

Y se deduce el resultado buscado:

[math]\boxed{\sqrt[q]{\frac{x_1^q+\ldots+x_n^q}{n}}\leq \sqrt[p]{\frac{x_1^p+\ldots+x_n^p}{n}}}

Nota: El número [math]\sqrt[k]{\frac{x_1^k+\ldots+x_n^k}{n}} recibe el nombre de media potencial [math]k-ésima de los números positivos [math]x_1,\ldots,x_n. Entre otras cosas, el resultado probado implica que cualquier media potencial [math]k-ésima con [math]k\geq 1 es siempre mayor ó igual que la media aritmética de los números. Lo cual, si fijamos [math]k=2, da otra demostración de la desigualdad entre las medias cuadrática y aritmética (ver la respuesta anterior de Iván).