Demostración AM-GM (y otras desigualdades)

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Vladislao

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Demostración AM-GM (y otras desigualdades)

Mensaje sin leer por Vladislao » Mié 25 Jul, 2012 4:22 pm

Vamos a demostrar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, que enuncia que, siendo [math] números reales positivos, siempre se verifica que:
[math]
Hay muchas maneras de llevar a cabo la demostración. Una muy conocida es usando un principio inductivo que al comienzo parece extraño. Voy a mostrar otra que, en definitiva, es un poco más interesante porque vamos a ir demostrando resultados parciales sobre desigualdades también muy conocidas. Algunas las vamos a utilizar, otras no.

Sería bueno estar familiarizado también con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, cuya demostración está en el link.

Primero vamos a probar otra desigualdad, la desigualdad de reordenamiento (o rearrangement inequality).

Desigualdad de Reordenamiento: Consideremos los [math] números reales positivos [math] y los [math] números reales [math]. Sea [math] una permutación de [math] (es decir, los mismos números cambiados de orden). Entonces se verifica que:
[math]
Spoiler: mostrar
Probemos, primero, el caso para [math]. En tal caso, queremos ver que [math], donde [math] y [math]. Esa desigualdad es equivalente a ver que [math] lo cual es claramente cierto.

Ahora, consideremos el caso general. Supongamos que existe una suma que no sea la que junta [math] con [math], [math] con [math], etc. tal que esa suma es la mayor posible. Entonces, en esa suma, debe existir un término [math] con [math] y un término [math] con [math]. Pero, entonces, usando el caso [math], podemos agrandar más la suma, intercambiando los lugares de [math] y [math], es decir que estén [math] y [math]. Entonces, la única posibilidad es que sea [math] y [math]. Repitiendo este argumento varias veces, se puede arribar a la contradicción de que la suma más grande es precisamente [math].
Desigualdad de Chebyshev: Sean [math] números reales positivos, y sean [math] números reales positivos. Entonces:
[math]
Spoiler: mostrar
Por la desigualdad de reordenamiento, es claro que la suma que apareja cada [math] con un [math] es máxima cuando se tiene [math]. Además, se puede deducir que la suma mínima se da cuando se tiene [math]. En tal caso, es obvio que:

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

Si sumamos todas las desigualdades, se obtiene que:

[math]

Como queríamos.
Ahora, por la desigualdad de reordenamiento, obtenemos el siguiente corolario:

Si [math] son números reales positivos. Entonces:
[math]
Demostración:
Spoiler: mostrar
Los [math] se ordenan exactamente al revés que sus inversos. Entonces, por reordenamiento, la suma de menor valor es la que apareja el elemento más chico de un grupo con el más grande del otro, y así... Es decir que:

[math]

Como queríamos.
Ahora, finalmente vamos a usar este corolario para probar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.
Spoiler: mostrar
Sean [math] números reales positivos. Consideremos [math], siendo [math]

Por el corolario probado, se cumple que:

[math]

Por lo tanto, vale que:

[math]

De donde:

[math]
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Ivan

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Re: Demostración AM-GM (y otras desigualdades)

Mensaje sin leer por Ivan » Mié 25 Jul, 2012 4:37 pm

Uy recién postee Rearrangement y la demostración. Estaba por postear Chebyshev y recién veo este post :P

Si tenés ganas hacé un post aparte para Chebyshev :P

Muy buena la demostración de AM-GM.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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CarlPaul_153
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Re: Demostración AM-GM (y otras desigualdades)

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Sab 22 Feb, 2014 9:45 pm

y que pasa si en un examen tengo que usar AM-GM? tengo que poner terrible demostración, y para variar sumarle la de Cauchy-Schwarz?? :?
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.

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Ivan

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Re: Demostración AM-GM (y otras desigualdades)

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 22 Feb, 2014 10:27 pm

CarlPaul_153 escribió:y que pasa si en un examen tengo que usar AM-GM? tengo que poner terrible demostración, y para variar sumarle la de Cauchy-Schwarz?? :?
NO. Hay cosas que se pueden usar sin demostración. Por ejemplo Ceva, Menelao, Cauchy-Schwarz, AM-GM, teorema chino del resto, teorema de Fermat-Euler. Hay otras cosas que es mejor demostrar, por ejemplo el Lema de Shmerkin o este lema. En los temas de teoría se avisa (o al menos se debería avisar) cuando es importante demostrar algo en un examen.

En la parte de teoría figuran las demostraciones de los resultados porque es bueno conocerlas (al menos haberlas visto alguna vez). Es una buena fuente de ideas para pensar problemas. Un ejemplo de esto es la demostración del Pequeño Teorema de Fermat, en la cual se usa que si [math] entonces [math] es una permutación de [math] (módulo [math]). Es un hecho muy simple pero extremadamente útil.
1  
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