Número de ORO 2015 P5

LuchoLP

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2015 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017
Mensajes: 191
Registrado: Mié 17 Abr, 2013 7:27 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico

Número de ORO 2015 P5

Mensaje sin leer por LuchoLP »

Hallar un polinomio [math] con coeficientes enteros cuyas raíces sean los cubos de las raíces de [math].
Avatar de Usuario
Emerson Soriano

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 OFO - Mención-OFO 2020
OFO - Medalla de Plata-OFO 2022
Mensajes: 816
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medallas: 6

Re: Número de ORO 2015 P5

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Spoiler: mostrar
Sean $a$, $b$, $c$ las raíces de $g$. Hagamos $h(x)=g(x+2)$, entonces las raíces de $h$ son las mismas de $g$ pero disminuidas en $2$. Luego, tomemos $m(x)=h\left (\frac{x}{2}\right )$, es decir, las raíces de $m$ son el doble de las raíces de $h$. El polinomio $m(x)$ queda de la siguiente forma:
$m(x)=(x-2a+4)(x-2b+4)(x-2c+4)$
Ahora, si hacemos $T(x)=m\left (x^2\right )$, conseguimos lo siguiente:
$T(x)=\left (x^2-2a+4\right )\left (x^2-2b+4\right )\left (x^2-2c+4\right )$
Luego, el polinomio que se obtiene en $r(x)=T(x)\cdot g(x)$ es $\left (x^3-a^3\right )\left (x^3-b^3\right )\left (x^3-c^3\right )$, y basta con tomar $w(x)=r\left (\sqrt[3]{x}\right )$ y haciendo las operaciones respectivas para obtener un polinomio cuyas raíces sean los cubos de las raíces de $g$, y basta con tomar $k\cdot w(x)$, donde $k$ es un entero adecuado, para obtener el polinomio pedido (con coeficientes enteros).
Avatar de Usuario
Prillo

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015
Mensajes: 401
Registrado: Sab 18 Dic, 2010 8:52 pm
Medallas: 2

Re: Número de ORO 2015 P5

Mensaje sin leer por Prillo »

Spoiler: mostrar
Las tres raíces de $f$ son distintas porque: $f$ es trivialmente irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ (si no, debería tener una raíz en $\mathbb{Q}$, pero de las raíces candidatas que salen del Teorema de la Raíz Racional, $\pm 1,\pm2$, ninguna es raíz), y como $\mathbb{Q}$ tiene característica $0$ entonces $f$ es separable sobre $\mathbb{Q}$, i.e. sus tres raíces en $\mathbb{C}$ son distintas.

También, los cubos de las raíces de $f$ son distintas, porque si $\phi _1$ y $\phi _2$ son dos raíces distintas de $f$ tales que $\phi _1^3=\phi _2^3$ entonces como $\phi _1^3=2\phi _1+2$ y $\phi _2^3=2\phi _2+2$ luego $2\phi _1+2=2\phi_2+2 \Rightarrow \phi _1=\phi _2$, absurdo.

Ahora sea $\phi$ una raíz de $f$, entonces$$\phi ^3-2\phi -2=0$$$$\Rightarrow \phi ^3=2\phi +2$$$$\Rightarrow \frac{\phi ^3-2}{2}=\phi$$$$\Rightarrow \left (\frac{\phi ^3-2}{2}\right )^3=\phi ^3.$$Entonces $\phi ^3$ es solución de $\left (\frac{X-2}{2}\right )^3=X$, o lo que es lo mismo, de $(X-2)^3-8X=0$. Entonces $g(X)=(X-2)^3-8X$ es un polinomio de coeficientes enteros que se anula sobre el cubo de las raíces de $f$, y ademas sólo sobre ellas, porque tiene grado $3$ y estas son $3$ raíces distintas de $g$.
Avatar de Usuario
Melanie
Mensajes: 45
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:17 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Número de ORO 2015 P5

Mensaje sin leer por Melanie »

Yo lo maté a cuentas y a mucha honra :)!
Spoiler: mostrar
Escribimos $f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$ con $a, b, c \in \mathbb{C}$, y desarrollaremos $f$. Usando Vieta vamos a hallar ciertas ecuaciones sobre $f$, y despejaremos los coeficientes de $g(x)$.

Desarrollando los términos, $f(x) = x^3 -x^2(a+b+c) +x(ab+bc+ac) -abc$. Entonces, por Vieta

$a+b+c = 0 \Rightarrow c = -(a+b)$
$ab+bc+ac = -2 \Rightarrow ab+c(a+b) = -2 \Rightarrow ab-(a+b)^2=-2 \Rightarrow (a+b)^2-ab=2 \Rightarrow a^2+b^2+ab=2$
$abc = 2 \Rightarrow ab(a+b) = -2 \Rightarrow a^2b+ab^2 = -2$

Ahora bien, se nos pidió que las raíces de $g$ sean el cubo de las de $f$. Así que escribimos $g$ como lo hicimos con $f$, desarrollando todo. Luego nos arremangaremos y haremos todos los despejes que se puedan imaginar.

$g(x) = (x-a^3)(x-b^3)(x-c^3) = x^3 - x^2(a^3+b^3+c^3) + x(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)-(abc)^3$
De ahora en más, llamaremos $P = a^3+b^3+c^3$, $Q = a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3$, $R = (abc)^3 = 8$. Así,
$g(x) = x^3 - Px^2+Qx-8$

Entonces nos falta despejar $P$ y $Q$. Los despejaremos en función de un nuevo término, $S$, que finalmente calcularemos.

Truco para despejar $P$ en función de $S$:


$(a+b+c)^3 = 0 = a^3+b^3+c^3+3(a^2 b+a^2 c+a b^2+a c^2+b^2 c+b c^2)+6 a b c$
Como nos faltaban más nombres de variables, $S = a^2 b+a^2 c+a b^2+a c^2+b^2 c+b c^2$. Así,
$0 = P + 3S+6\cdot 2$
$-12 = P + 3S$

Truco para despejar $Q$ en función de $S$:


$(ab+bc+ac)^3 = -8 = a^3 b^3+a^3 c^3+b^3 c^3+3 (a^2 b^3 c+a^3 b^2 c+a^3 b c^2+a^2 b c^3+a b^3 c^2+a b^2 c^3)+6 a^2 b^2 c^2$
$-8 = Q + 3a b c (a^2 b+a^2 c+a b^2+a c^2+b^2 c+b c^2) + 6 (abc)^2$
$-8 = Q + 3 \cdot 2 (a^2 b+a^2 c+a b^2+a c^2+b^2 c+b c^2) + 6 \cdot 2^2$
$-8 = Q + 6 S + 24$
$-32 = Q + 6 S$

Ahora despejemos $S$:
$S = a^2 b+a b^2+a^2 c+b^2 c+a c^2+b c^2 = -2 + c(a^2+b^2) + c^2(a+b) = -2 - (a+b)(a^2+b^2) + (a+b)^2(a+b) = -2 + (a+b)((a+b)^2 -a^2-b^2) = -2 + 2ab(a+b) = -2 -4 = -6$

Entonces sabemos que $S =-6$, así que despejemos todo:

$-12 = P + 3S = P + 3 \cdot (-6) = P -18 \Rightarrow 6 = P$
$-32 = Q + 6 S \Rightarrow -32 = Q + 6 (-6) = Q - 36 \Rightarrow 4 = Q$

Reemplazando con los valores hallados queda $g(x) = x^3 - 6x^2+4x-8$. Hermoso.
3  
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
Mensajes: 1925
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 14
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Número de ORO 2015 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Consideremos la matriz compañera$$C:=\begin{pmatrix}0&0&2\\1&0&2\\0&1&0\end{pmatrix}$$de $f$. Entonces el polinomio característico de $C$ es $\chi _C(x)=f(x)$, y sus raíces (que son las raíces de $f$) son los autovalores de $C$.
Ahora, tenemos que$$C^3=\begin{pmatrix}2&0&4\\2&2&4\\0&2&2\end{pmatrix}$$y los autovalores de $C^3$ son los cubos de los autovalores de $C$ (y con la misma multiplicidad), es decir, los cubos de las raíces de $f$. Entonces $g(x):=\chi _{C^3}(x)=x^3-6x^2+4x-8$ es un polinomio con coeficientes enteros cuyas raíces son los cubos de las raíces de $f$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022
Mensajes: 213
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 3
Ubicación: Uruguay

Re: Número de ORO 2015 P5

Mensaje sin leer por Juaco »

No se que tan aceptable sea
Spoiler: mostrar
$f$ es mónico entonces $f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ y lo que estoy buscando es $g(x) = (x - \alpha^3)(x - \beta^3)(x - \gamma^3) = (x - 2\alpha - 2)(x - 2\beta - 2)(x - 2\gamma - 2)$ entonces si evalúo $g(2x+2) = (2x - 2\alpha)(2x - 2\beta)(2x - 2\gamma) = 8\cdot f(x)$ resulta que $g(x) = 8\cdot f\left( \frac{x-2}{2}\right) = x^3 - 6x^2 + 4x -8$
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $
Responder