Me costo bastante asi que al final termine tomandome el trabajo de escribirlo en LaTeX xD [math]\left ( \sqrt[3]{2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3}}+\sqrt[3]{2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3}} \right )^3= [math]\left ( \sqrt[3]{2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3}}\right )^3+\left (\sqrt[3]{2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3}} \right )^3+3\left ( \sqrt[3]{\left (2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )^2\left (2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )}+\sqrt[3]{\left (2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )\left (2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )^2} \right )= [math]4+3\left ( \sqrt[3]{\left (2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )\left (4-\frac{100}{27}\right )}+\sqrt[3]{\left (4-\frac{100}{27}\right )\left (2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )} \right )= [math]4+3\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\left ( \sqrt[3]{\left (2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )}+\sqrt[3]{\left (2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )} \right )= [math]4+2\left ( \sqrt[3]{\left (2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )}+\sqrt[3]{\left (2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3} \right )} \right ) [math]4+2x=x^3 [math]x=2 [math](x^3-2x-4)/(x-2)= [math]x^2+2x+2
[math]\frac{-2\pm \sqrt[]{-4}}{2}
Entonces la unica solucion real es dos, asi que [math]2=\sqrt[3]{2+\frac{10}{9}\sqrt[]{3}}+\sqrt[3]{2-\frac{10}{9}\sqrt[]{3}}
Como $\sqrt[3]{\frac{10}{9}\sqrt{3}}$ es muy chico, tiene sentido que de algo cerca de $2$ (idealmente, que de $2$). Además, lo que hay adentro de las raíces son expresiones conjugadas, multiplicándolas tenemos una diferencia de cuadrados, que junto con las raíces nos da $\frac{2}{3}$. Como además queremos que su suma sea $2$, lo que buscamos es demostrar que $\sqrt[3]{2\pm \frac{10}{9}\sqrt{3}}$ son raíces de $x^2-2x+\frac{2}{3}$, pero las raíces de este polinomio son $1\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ (no están racionalizadas, pero la cuenta es más linda así), entonces lo que queremos ver es que $\sqrt[3]{2\pm \frac{10}{9}\sqrt{3}}=1\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
