CIMA 2017 - Problema 5

[JPablo]

Dada una cónica [math]C no degenerada y un punto [math]p en ella, demostrar que todas las cuerdas [math]qr de [math]C tales que el ángulo [math]\widehat{qpr} es recto tienen un punto en común.

Recordemos que una cónica no degenerada es el conjunto de puntos [math]\left (x,y\right )\in \mathbb{R}^2 tales que [math]P\left (x,y\right )=0, con [math]P\in \mathbb{R}\left [x,y\right ] un polinomio de grado [math]2, irreducible en [math]\mathbb{C}\left [x,y\right ].

[Juaco]

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Lema 1: todo par de rectas perpendiculares se corresponden en una misma involucion
Demostración:

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Cima 2017 P5.jpg

los puntos $A, B, C, A', B', C'$ son las intersecciones con alguna recta $r$ que no pase por el punto $F$ que es el vértice de todos estos ángulos rectos, las circunferencias de diámetros $AA'$, $BB'$, $CC'$ concurren en el punto $F$ que va a ser el centro de la involucion, y $O$ es el pie de la perpendicular por $F$ a $r$, por semejanza vemos que $OA \cdot OA' = OB \cdot OB' = OC \cdot OC' = OF^2$

Lema 2: sean $A_1, A_2, A_3$ y $A_1', A_2', A_3'$ $2$ referencias de la recta proyectiva, una homografía $\sigma: r \to r$ definida por $\sigma(A_i) = A_i'$ es una involución sí y solo sí $\{A_1, A_2, A_3, A_i'\} = \{A_1', A_2', A_3', A_i\}$ para al menos un índice $i \in \{1, 2, 3\}$

Demostración:

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ver que todo lo que uso es sí y solo sí
$\rho = \{A_1, A_2, A_3, A_i'\} = \{A_1', A_2', A_3', A_i\}$
$\rho = \{ \sigma(A_1), \sigma(A_2), \sigma(A_3), \sigma(A_i')\} = \{A_1', A_2', A_3', \sigma(A_i')\}$

de donde se deduce que $\sigma(A_i') = A_i$ por lo que $\sigma$ es una involución

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Primero que nada defino los puntos
$O = Q_1R_3 \cap Q_2R_2$, $L = Q_1R_3 \cap Q_3R_3$, $H = Q_1R_3 \cap Q_3R_2$
Tenemos entonces por los lemas que $\{Q_1, Q_2, Q_3, R_3\} = \{Q_1, R_1, R_2, R_3\}$

$\left.\begin{array}{c}\{Q_1, Q_2, Q_3, R_3\} \underset{R_2}{=} \{Q_1, O, H, R_3\} \\ \{Q_1, R_1, R_2, R_3\} \underset{Q_3}{=} \{Q_1, L, H, R_3\} \end{array}\right\rbrace \Rightarrow O = L$

Por lo que son todas concurrentes como pedía el problema