La distancia entre $(x,x^2)$ y $(14,1)$ es $\sqrt{(x-14)^2+(x^2-1)^2}=\sqrt{x^2+196-28x+x^4+1-2x^2}=\sqrt{x^4-x^2-28x+197}$. Luego, la menor distancia se va a dar con el menor valor de $x^4-x^2-28x$. La derivada de $x^4-x^2-28x$ es $4x^3-2x-28$, que es igual a $0$ con $x=2$, es mayor a $0$ con $x>2$ (ya que $x>2\implies 2x^2-1>7\implies 4x^3-2x-28=2x(2x^2-1)-28>2\times 2\times 7-28=0$) y es menor a $0$ con $x<2$ (ya que si $\sqrt{\frac{1}{2}}\leq x<2$ entonces $0\leq 2x^2-1<7\implies 4x^3-2x-28=2(2x^2-1)x-28<2\times 2\times 7-28=0$; si $-\sqrt{\frac{1}{2}}\leq x<\sqrt{\frac{1}{2}}$ entonces $-1\leq 2x^2-1\leq 0\implies 4x^3-2x-28=2(2x^2-1)x-28<2\times 1\times\sqrt{\frac{1}{2}}-28=\sqrt{2}-28<0$; y si $x<-\sqrt{\frac{1}{2}}$ entonces $2x^2-1>0\implies 4x^3-2x-28=2(2x^2-1)x-28<-28<0$), así que el mínimo de $x^4-x^2-28x$ es $x=2$.
Por lo tanto la menor distancia es $\sqrt{2^4-2^2-28\times 2+197}=\sqrt{16-4-56+197}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$.
El punto $X=(x,x^2)$ que minimiza la distancia a $P=(14,1)$ debe ser tal que la tangente a la parábola por $X$ es perpendicular a la recta $XP$.
La tangente a la parábola en $X$ tiene pendiente $2x$. La recta $XP$ tiene pendiente $\frac{x^2-1}{x-14}$. Luego
$$-\frac{1}{2x}=\frac{x^2-1}{x-14}$$
O sea que $2x(x^2-1)=14-x$ y entonces $2x^3-x-14=0$. Vemos que $x=2$ es raíz. Las otras raíces son complejas.
Luego el punto que minimiza es $X=(2,4)$. La distancia es $\sqrt{(14-2)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{17}$.
