Número de Oro 2018 - P5

[Gianni De Rico]

¿Es el número $\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ un natural primo o compuesto?

[Turko Arias]

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Notemos lo siguiente: $\frac{(5x^2)^5-1}{5x^2-1}=(5x^2)^4+(5x^2)^3+(5x^2)^2+5x^2+1$ ya que en el fondo estamos dividiendo el polinomio $u^5-1$ por el polinomio $u-1$ con el cambio de variable $u=5x^2$. Nos queda $(5x^2)^4+(5x^2)^3+(5x^2)^2+5x^2+1=625x^8+125x^6+25x^4+5x^2+1= \\
625x^8+750x^6-625x^6+275x^4-250x^4+30x^2-25x^2+1= \\
(25x^4+15x^2+1)^2-(25x^3+5x)^2 (1)$

Pero por otro lado:
$\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=\frac{((5.(5^{12})^2)^5-1}{5.(5^{12})^2-1}$, luego reemplazando $x=5^{12}$ en $(1)$ nos queda que nuestra expresión se puede expresar como una diferencia de cuadrados, por lo que es compuesto