Afirmo que la única solución es la terna $(3,5,7)$. Claramente es solución, veamos que es la única.
En efecto, sea $(x,y,z)$ una terna que cumple con las hipótesis del enunciado, luego, $y=x+2$, $z=x+4$. Sea $\mathbb{P}:=\{x\in \mathbb{N}:x\text{ es primo}\}$, luego, $x,x+2,x+4\in \mathbb{P}$. Viendo módulo $3$, tenemos $3$ casos.
$$x\equiv 0\pmod 3\underset{x\in \mathbb{P}}{\Rightarrow}x=3\Rightarrow x+2=5\wedge x+4=7$$
En este caso, la única solución es la terna $(x,y,z)=(3,5,7)$.
$$x\equiv 1\pmod 3\Rightarrow x+2\equiv 0\pmod 3\underset{x+2\in \mathbb{P}}{\Rightarrow}x+2=3\Rightarrow x=1$$
Pero como $x\in \mathbb{P}$ y $1\not \in \mathbb{P}$, llegamos a un absurdo. Luego, en este caso no hay soluciones.
$$x\equiv 2\pmod 3\Rightarrow x+4\equiv 0\pmod 3\underset{x+4\in \mathbb{P}}{\Rightarrow}x+4=3\Rightarrow x+2=1$$
Pero como $x+2\in \mathbb{P}$ y $1\not \in \mathbb{P}$, llegamos a un absurdo. Luego, en este caso no hay soluciones.
Habiendo visto todos los casos, queda demostrado que la única solución posible es $(x,y,z)=(3,5,7)$.
Como demostramos existencia y unicidad, se concluye el problema. $\blacksquare$
