Afirmo que los $n$ que verifican la ecuación modular son exactamente los que verifican $$n\equiv 3\pmod 5$$
Veamos que si $n'\equiv n\pmod 5$, entonces$$\sum \limits _{k=1}^{2n'}(-1)^kk^3\equiv \sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\pmod 5\quad (1)$$Para ver esto, basta ver que$$\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv \sum \limits _{k=1}^{2(n+5)}(-1)^kk^3\pmod 5\quad (2)$$pues la diferencia entre dos números congruentes módulo $5$ es (por definición) un múltiplo de $5$, de donde podemos utilizar una cantidad finita de veces la ecuación $(2)$ para obtener la ecuación $(1)$.
Ver que se cumple $(2)$ es equivalente a ver$$\sum \limits _{k=1}^{2(n+5)}(-1)^kk^3-\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv 0\pmod 5$$ luego, basta ver $$(-1)^{2n+1}(2n+1)^3+(-1)^{2n+2}(2n+2)^3+(-1)^{2n+3}(2n+3)^3+(-1)^{2n+4}(2n+4)^3+(-1)^{2n+5}(2n+5)^3+(-1)^{2n+6}(2n+6)^3+(-1)^{2n+7}(2n+7)^3+(-1)^{2n+8}(2n+8)^3+(-1)^{2n+9}(2n+9)^3+(-1)^{2n+10}(2n+10)^3\equiv 0\pmod 5$$es decir, basta ver$$-(2n+1)^3+(2n+2)^3-(2n+3)^3+(2n+4)^3-(2n+5)^3+(2n+6)^3-1(2n+7)^3+(2n+8)^3-1(2n+9)^3+(2n+10)^3\equiv 0\pmod 5$$Pero como $$2n+1\equiv 2n+6\pmod 5\Rightarrow (2n+1)^3\equiv (2n+6)^3\pmod 5$$$$2n+2\equiv 2n+7\pmod 5\Rightarrow (2n+2)^3\equiv (2n+7)^3\pmod 5$$ $$2n+3\equiv 2n+8\pmod 5\Rightarrow (2n+3)^3\equiv (2n+8)^3\pmod 5$$$$2n+4\equiv 2n+9\pmod 5\Rightarrow (2n+4)^3\equiv (2n+9)^3\pmod 5$$$$2n+5\equiv 2n+10\pmod 5\Rightarrow (2n+5)^3\equiv (2n+10)^3\pmod 5$$resulta que lo que queríamos ver es cierto. Luego la ecuación $(1)$ es cierta. Además, si $n'\equiv n\pmod 5$, entonces $3n'-9\equiv 3n-9\pmod 5$. Luego, basta ver los casos $n=1,2,3,4,5$ para ver cuáles son solución.
Como$$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 5}(-1)^kk^3=575\equiv 0\pmod 5$$y$$3\cdot 5-9=6\equiv 1\pmod 5$$en este caso no hay soluciones.
Habiendo visto todos los casos, queda demostrado que los $n$ que verifican la ecuación modular del enunciado son exactamente los que verifican $n\equiv 3\pmod 5$. $\blacksquare$