Número de Oro 2019 - P2

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Número de Oro 2019 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Determine todos los números naturales $n$ tales que $$\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv 3n-9 \pmod 5.$$
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Número de Oro 2019 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Solución:
Spoiler: mostrar
Afirmo que los $n$ que verifican la ecuación modular son exactamente los que verifican $$n\equiv 3\pmod 5$$
Veamos que si $n'\equiv n\pmod 5$, entonces$$\sum \limits _{k=1}^{2n'}(-1)^kk^3\equiv \sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\pmod 5\quad (1)$$Para ver esto, basta ver que$$\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv \sum \limits _{k=1}^{2(n+5)}(-1)^kk^3\pmod 5\quad (2)$$pues la diferencia entre dos números congruentes módulo $5$ es (por definición) un múltiplo de $5$, de donde podemos utilizar una cantidad finita de veces la ecuación $(2)$ para obtener la ecuación $(1)$.
Ver que se cumple $(2)$ es equivalente a ver$$\sum \limits _{k=1}^{2(n+5)}(-1)^kk^3-\sum \limits _{k=1}^{2n}(-1)^kk^3\equiv 0\pmod 5$$ luego, basta ver $$(-1)^{2n+1}(2n+1)^3+(-1)^{2n+2}(2n+2)^3+(-1)^{2n+3}(2n+3)^3+(-1)^{2n+4}(2n+4)^3+(-1)^{2n+5}(2n+5)^3+(-1)^{2n+6}(2n+6)^3+(-1)^{2n+7}(2n+7)^3+(-1)^{2n+8}(2n+8)^3+(-1)^{2n+9}(2n+9)^3+(-1)^{2n+10}(2n+10)^3\equiv 0\pmod 5$$es decir, basta ver$$-(2n+1)^3+(2n+2)^3-(2n+3)^3+(2n+4)^3-(2n+5)^3+(2n+6)^3-1(2n+7)^3+(2n+8)^3-1(2n+9)^3+(2n+10)^3\equiv 0\pmod 5$$Pero como $$2n+1\equiv 2n+6\pmod 5\Rightarrow (2n+1)^3\equiv (2n+6)^3\pmod 5$$$$2n+2\equiv 2n+7\pmod 5\Rightarrow (2n+2)^3\equiv (2n+7)^3\pmod 5$$ $$2n+3\equiv 2n+8\pmod 5\Rightarrow (2n+3)^3\equiv (2n+8)^3\pmod 5$$$$2n+4\equiv 2n+9\pmod 5\Rightarrow (2n+4)^3\equiv (2n+9)^3\pmod 5$$$$2n+5\equiv 2n+10\pmod 5\Rightarrow (2n+5)^3\equiv (2n+10)^3\pmod 5$$resulta que lo que queríamos ver es cierto. Luego la ecuación $(1)$ es cierta. Además, si $n'\equiv n\pmod 5$, entonces $3n'-9\equiv 3n-9\pmod 5$. Luego, basta ver los casos $n=1,2,3,4,5$ para ver cuáles son solución.

Caso 1: $n=1$
Spoiler: mostrar
Como$$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 1}(-1)^kk^3=7\equiv 2\pmod 5$$y$$3\cdot 1-9=-6\equiv 4\pmod 5$$en este caso no hay soluciones.
Caso 2: $n=2$
Spoiler: mostrar
Como$$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 2}(-1)^kk^3=44\equiv 4\pmod 5$$y$$3\cdot 2-9=-3\equiv 2\pmod 5$$en este caso no hay soluciones.
Caso 3: $n=3$
Spoiler: mostrar
Como$$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 3}(-1)^kk^3=135\equiv 0\pmod 5$$y$$3\cdot 3-9=0\equiv 0\pmod 5$$todos los $n\equiv 3\pmod 5$ verifican la ecuación modular del enunciado.
Caso 4: $n=4$
Spoiler: mostrar
Como$$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 4}(-1)^kk^3=304\equiv 4\pmod 5$$y$$3\cdot 4-9=3\equiv 3\pmod 5$$en este caso no hay soluciones.
Caso 5: $n=5$
Spoiler: mostrar
Como$$\sum \limits _{k=1}^{2\cdot 5}(-1)^kk^3=575\equiv 0\pmod 5$$y$$3\cdot 5-9=6\equiv 1\pmod 5$$en este caso no hay soluciones.
Habiendo visto todos los casos, queda demostrado que los $n$ que verifican la ecuación modular del enunciado son exactamente los que verifican $n\equiv 3\pmod 5$. $\blacksquare$
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder