Número de Oro 2019 - P9

[Gianni De Rico]

Sea la sucesión de Fibonacci definida por$$F_1=F_2=1~~\text{y}~~F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,~~\text{para}~~n\geqslant 1.$$Pruebe que para cada natural $n\geqslant 2$ se verifica la igualdad$$\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k=nF_{n+1}-F_n.$$

[Gianni De Rico]

Solución:

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Veamos por inducción en $n$ que si $n\geqslant 2$ entonces se verifica la igualdad del enunciado.
El caso base $n=2$ es cierto pues$$\begin{align*}\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k & =\sum \limits _{k=1}^{2-1}(k+2)F_k \\
& =\sum \limits _{k=1}^1(k+2)F_k \\
& =(1+2)F_1 \\
& =3F_1 \\
& =3 \\
& =4-1 \\
& =2\cdot 2-1 \\
& =2\cdot F_3-F_2 \\
& =n\cdot F_{n+1}-F_n
\end{align*}$$Supongamos como hipótesis inductiva que vale para $n$. Veamos que vale para $n+1$.
En efecto$$\begin{align*}\sum \limits _{k=1}^{(n+1)-1}(k+2)F_k & =\sum \limits _{k=1}^n(k+2)F_k \\
& =(n+2)F_n+\sum \limits _{k=1}^{n-1}(k+2)F_k \\
& \underset{\text{HI}}{=}(n+2)F_n+nF_{n+1}-F_n \\
& =(n+1)(F_n+F_{n+1})-F_{n+1} \\
& =(n+1)F_{n+2}-F_{n+1}
\end{align*}$$La inducción está completa, luego, para cada natural $n\geqslant 2$ se verifica la igualdad del enunciado. $\blacksquare$