CIMA 2014 - P4

[Gianni De Rico]

Sea $\mathfrak{C}$ la familia de circunferencias del plano $\mathbb{R}^2$ que satisface las siguientes propiedades:

• $\text{(i)}$ si $C_n$ es la circunferencia de centro $(n,1/2)\in \mathbb{R}^2$ y radio $1/2$, entonces $C_n\in \mathfrak{C}$, para todo $n$ entero;
• $\text{(ii)}$ si $C,C'\in \mathfrak{C}$ son tangentes (exteriores) entre sí, entonces la circunferencia tangente (exteriormente) a $C$ y $C'$ y tangente al eje $x$ también pertenece a $\mathfrak{C}$;
• $\text{(iii)}$ $\mathfrak{C}$ es la menor familia de circunferencias del plano (respecto de la inclusión) que satisface las propiedades $\text{(i)}$ y $\text{(ii)}$.

Determinar el conjunto de todos los números reales que se obtienen como primera coordenada de los puntos de intersección entre las circunferencias que pertenecen a $\mathfrak{C}$ y el eje $x$.