OMAlbum - Problema #A016

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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OMAlbum - Problema #A016

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 23 Sep, 2020 7:33 pm

Se tiene un tablero cuadriculado que tiene la misma cantidad de casillas de alto que de ancho. En este tablero, las casillas están coloreadas alternadamente de blanco y de negro como en un tablero de ajedrez, y las cuatro casillas de las esquinas son negras. Sabiendo que hay en total $148$ casillas negras en los bordes del tablero, calcular cuántas casillas blancas hay en el tablero.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

Genericool
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Re: OMAlbum - Problema #A016

Mensaje sin leer por Genericool » Mié 23 Sep, 2020 8:57 pm

Respondí mal dos veces por contar las casillas negras, cuando el problema pedía contar las blancas. En fin, mi razonamiento fue el siguiente.

Tenemos $148$ casillas negras en el borde. De ellas, $4$ están en una esquina. Si las quitamos, no quedan casillas que estén en dos lados al mismo tiempo. Entonces hay $148 - 4 = 144$ casillas negras que tocan solamente un borde. Como el tablero es simétrico, hay $144 : 4 = 36$ casillas negras por borde. Esto quiere decir que en un borde cualquiera hay $37$ casillas blancas y $38$ negras, con la siguiente configuración:

$■\; \underbrace{□■ \ldots □■}_{36\;veces} □■$

Ahora sabemos que nuestro tablero tiene $37 + 38 = 75$ casillas por fila. Dado que es un tablero cuadrado (según el problema), sus dimensiones son $75 \times 75$.

Si la cantidad de filas y columnas fuese par, el cálculo de casillas blancas sería fácil, porque es exactamente la mitad. Para salvar este inconveniente, hice el cálculo con un tablero de $74 \times 74 = 5476$ casillas, de las que $5476 : 2 = 2738$ son blancas. Ahora solo tengo que reponer la fila y la columna (ambas del borde) que quité para hacer mi cálculo. Dije que en un borde cualquiera hay $37$ blancas, y sabemos que la única casilla compartida es la de la esquina, que es negra y no afecta al cálculo, de modo que en total tenemos $2738 + 37 + 37 = 2812$ casillas blancas en total.

Como detalle, hay $2813$ casillas negras en total, pero no encuentro manera sencilla de explicar el hecho de que en tableros impares, la cantidad de casillas del mismo color que las de la esquina supera en $1$ la cantidad de casillas del otro color.
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Gianni De Rico

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Re: OMAlbum - Problema #A016

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 23 Sep, 2020 9:23 pm

Genericool escribió:
Mié 23 Sep, 2020 8:57 pm
Como detalle, hay $2813$ casillas negras en total, pero no encuentro manera sencilla de explicar el hecho de que en tableros impares, la cantidad de casillas del mismo color que las de la esquina supera en $1$ la cantidad de casillas del otro color.
Una forma sencilla es ver que dos filas consecutivas son "opuestas" (es decir, si una casilla es blanca en una fila, entonces tiene que ser negra en la de abajo, y viceversa). Entonces entre las dos tienen $n$ casillas blancas y $n$ casillas negras ($n$ es el lado del tablero, en este caso, $n=75$).
Así que si agarramos la primer y la segunda fila, la tercera y la cuarta, y vamos siguiendo así, tenemos siempre la misma cantidad de casillas de cada color. Como el tablero tiene lado impar, al final nos sobra una fila, y como dijiste vos, las casillas negras en esa fila son una más que las blancas. Entonces las casillas negras de todo el tablero son una más que las blancas.
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Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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