OMAlbum - Problema #A020

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Matías V5

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OMAlbum - Problema #A020

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 07 Oct, 2020 7:34 pm

Bruno inventó un código secreto en el que a cada dígito le corresponde una letra diferente. Un día, se dio cuenta de que si al número de cinco dígitos NOTAR lo multiplica por $4$, el resultado que se obtiene es el número RATON.
En el código de Bruno, ¿a qué número corresponde la palabra TROTAN?
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

Genericool
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Re: OMAlbum - Problema #A020

Mensaje sin leer por Genericool » Jue 08 Oct, 2020 11:31 am

Spoiler: mostrar
El mayor múltiplo de $4$ que tiene cinco dígitos es $98764 = 24691 \times 4$. Entonces $NOTAR \leq 24691$. Esto significa que $N$ puede ser $2$ o $1$.

$RATON$ es múltiplo de $4$, por lo tanto es par. Entonces $N = 2$. Además es el último dígito de multiplicar $NOTAR \times 4$. Esto significa que $R$ puede ser $8 \; (\times 4 = 32)$ o $3 \; (\times 4 = 12)$.

Como $NOTAR$ comienza con $2$, al multiplicar por $4$ el resultado comienza al menos con $8$. $R$ entonces no puede ser $3$, debe ser $8$.

Hasta ahora sabemos que
\begin{align}
4 \times (20000 + 1000O + 100T + 10A + 8) &= 80000 + 1000A + 100T + 10O + 2 \\
80000 + 4000O + 400T + 40A + 32 &= 80000 + 1000A + 100T + 10O + 2 \\
3990O + 300T + 30 &= 3960A \\
133O + 10T + 1 &= 32A \\
\end{align}

$32A$ es par, por lo tanto $133O + 10T + 1$ también lo es. Sabemos que $10T$ es par porque es múltiplo de $10$, así que $133O + 1$ también debe serlo para mantener la paridad. Esto nos indica que $133O$ es impar. Por las reglas de paridad, $O$ debe ser impar.

El mayor valor que podría tomar $A$ es $9$, o sea que $32A \leq 288$. El único valor posible para $O$ es $1$ porque el siguiente impar es $3$, que multiplicado por $133$ da $399 > 288$.

Reemplazando en la ecuación,
\begin{align}
133 + 10T + 1 &= 32A \\
134 + 10T &= 32A \\
\end{align}

$10T$ es múltiplo de $10$, así que termina en $0$. Eso significa que la suma del primer miembro de la ecuación termina en $4$. El único valor posible para $A$ es $7$ porque $32 \times 2 = 64$ que también termina en $4$ pero es menor que $134$. Finalmente
\begin{align}
134 + 10T &= 32 \times 7 \\
10T &= 224 - 134 \\
10T &= 90 \\
T &= 9 \\
\end{align}

Verificamos
\begin{align}
NOTAR \times 4 &= RATON \\
21978 \times 4 &= 87912 \\
\end{align}

Según el código de Bruno, $TROTAN$ sería $981972$.
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