OMAlbum - Problema #A022

[Matías V5]

Melanie escribió la lista de números $$1,\, 23,\, 456,\, 78910,\, 1112131415,\, 161718192021,\, \ldots $$ La lista se construye de acuerdo a las siguientes reglas. El primer número de la lista es el $1$; el segundo número de la lista se obtiene concatenando los siguientes dos enteros; el tercer número de la lista se obtiene concatenando los siguientes tres enteros; el cuarto número de la lista se obtiene concatenando los siguientes cuatro enteros; etcétera.
¿En qué posición de la lista aparece por primera vez la secuencia de dígitos $4321$?
Por ejemplo, la secuencia de dígitos $202$ aparece por primera vez en la posición número $6$ de la lista (es decir, en el sexto número de la lista).

[Elon_Musk]

Hola, esta es mi solución para #A022:
Primero hay que encontrar la primera secuencia de números donde este el 4321, la cual es 14321433. No podría ser de tres digitos porque necesita cuatro numeros en orden descente.
Luego habría que encontrar en cual posicion esta el 1432, para esto use la suma de Gauss. ((n*(n-1))=1432. n≈54,0186, al ser la respuesta un número natural puse 54.

[Sergiohuang2004]

Hola, esta es mi solución para #A022:
Primero hay que encontrar la primera secuencia de números donde este el 4321, la cual es 14321433. No podría ser de tres digitos porque necesita cuatro numeros en orden descente.
Luego habría que encontrar en cual posicion esta el 1432, para esto use la suma de Gauss. ((n*(n-1))=1432. n≈54,0186, al ser la respuesta un número natural puse 54.

Spoiler: mostrar

Hola! Fijate si recordaste mal la suma de Gauss porque era n*(n+1)/2

Yo pongo cómo lo pensé:

Me di cuenta de que había una relación entre la posición y el último número de cada posición

La relación tenía que ver con la suma de de Gauss :

Por ejemplo
la posición 1 el ultimo número era 1 1*(1+1)/2=1 n*(n+1)/2
la posicion 2 el ultimo número era 3 2*(2+1)/2=3
la posicion 3 el ultimo número era 6 3*(3+1)/2=6
la posición 4 el ultimo número era 10 4*(4+1)/2=10

y esto sigue

*no se cómo puedo justificar que esto se cumple siempre,si alguien lo sabe lo puede publicar?Gracias

Entonces, como ya lo había dicho @ Elon_Musk

Primero hay que encontrar la primera secuencia de números donde este el 4321, la cual es 14321433

pero en vez de suma es resta en la suma de Gauss,nos queda:

n*(n+1)/2 =1432 n≈53,01869 por lo tanto si reemplazamos n=53 en la suma de Gauss sabemos que el último número
de la posición 53 de la lista es: 53(53+1)/2=1431
Por lo tanto el en la posición 54 tenemos: 14321433... y queda concluido el problema aunque me queda la duda de arriba

[Gianni De Rico]

*no se cómo puedo justificar que esto se cumple siempre,si alguien lo sabe lo puede publicar?Gracias

Hola, esto es justamente por la suma de Gauss

Spoiler: mostrar

Fijate que como la primer posición usa un número, la segunda posición usa dos números y siguiendo así la posición $n$ usa $n$ números, entonces el último número de la primer posición es el $1$, el último número de la segunda posición es el $1+2=3$, y siguiendo así el último número de la posición $n$ es $1+2+\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Sobre la suma que usó Elon, está bien el resultado que le da (en cierta forma), la cuenta que hizo fue la correcta, debe haber tenido un error de tipeo. El resultado le dio distinto porque en realidad hay dos valores de $n$ que cumplen que $\frac{n(n+1)}{2}=1432$, uno es aproximadamente $-54,0186$ y el otro es aproximadamente $53,0186$, después como dijeron ustedes, el número tiene que ser un entero positivo, así que hay que redondear para arriba el $53,0186$, y de ahí tenemos la respuesta.

[Genericool]

Mi razonamiento fue el mismo de los demás.

La secuencia $4321$ no podía formarse con números de un dígito $4|3|2|1$ porque, según el método, no se escriben en orden decreciente. Tampoco podían ser de dos dígitos porque es imposible que $a4|32|1b$ sean consecutivos y lo mismo para $43|21$. Tampoco de tres dígitos porque ni $ab4|321$, ni $a43|21b$ ni $432|1ab$ pueden ser consecutivos. Debe ser la unión de números de al menos cuatro dígitos. Las posibilidades son:

• $abc4|321d \rightarrow{3214|3215}$

• $ab43|21cd \rightarrow{2143|2144}$

• $a432|1bcd \rightarrow{1432|1433}$

De todas ellas, la que aparecería primero es $1432|1433$. Sin embargo debemos asegurarnos de que ambos números formen parte del mismo elemento de la lista de Melanie. Para ello hice una mini tabla que registraba hasta qué número abarcaba cada elemento (que, efectivamente como dijeron los demás, se puede obtener mediante la suma de Gauss).

1. $1$
2. $3$
3. $6$
4. $10$

y para cualquier $n$, el $n$-simo elemento llega hasta $\frac{n(n + 1)}{2}$

Para saber en qué elemento aparecería $1432|1433$ resolvemos $1432 = \frac{n(n + 1)}{2}$ de donde resulta que $n \approx 53$

Aplicando la suma de Gauss, el elemento $53$ de la lista de Melanie llegaría hasta el $53 \times 54 / 2 = 1431$, de modo que el elemento $54$ comienza con nuestra combinación.

[Dsyuco]

Empecé por analizar la manera de que dos números consecutivos comiencen y terminen con las cifras 4321. El 21 no puede ser consecutivo al 43, y ningún número de tres cifras funciona. Entonces de cuatro cifras se puede tener 14321433.
Utilizamos Gauss: n(n+1)/2 = 1433
Operando nos queda n2+n-2866=0
53,01 lo redondeamos para arriba y sabemos que la primera vez que aparece esa secuencia en la sucesión es en el 54avo término