OMAlbum - Problema #A031

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Matías V5

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OMAlbum - Problema #A031

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Lucía escribió una lista de números enteros en el pizarrón. La lista de Lucía tiene más de $100$ y menos de $600$ números.
Uno de esos números es $2020$. La suma de todos los números de la lista de Lucía es igual a $2020$, y también el producto de todos los números de la lista de Lucía es igual a $2020$.
Teniendo esta información, ¿cuántas posibilidades hay para la cantidad de números en la lista de Lucía?
1  
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

Genericool
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Re: OMAlbum - Problema #A031

Mensaje sin leer por Genericool »

Spoiler: mostrar
El elemento identidad de la suma es $0$. Por lo tanto, la sumatoria de los elementos desconocidos de la lista debe ser $0$.

El elemento identidad del producto es $1$. Por lo tanto, la multiplicatoria de los elementos desconocidos de la lista debe ser $1$.

El $0$ no puede aparecer en la lista de elementos desconocidos, porque sino la multiplicatoria sería $0$.

Para que la sumatoria sea $0$, algunos elementos deben ser positivos y otros negativos.

Para que la multiplicatoria sea $1$, el valor absoluto de los elementos debe ser $1$ (porque son enteros, sino las posibilidades son infinitas con $\frac{x}{y} \times \frac{y}{x}$).

Para que el resultado sea positivo, la cantidad de elementos negativos debe ser par.

Con todas estas premisas, sabemos que la lista de Lucía se completa con series de $(1, -1, 1, -1)$. Como hay más de $100$ elementos, esta serie aparece al menos $25$ veces. Si hay menos de $600$ elementos, la serie aparece a lo sumo $149$ veces.

En total son $125$ posibilidades. Y para no perder la costumbre, mi primer intento fue con $124$.

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