Polar y polo trilineal
Polar y polo trilineal
Dado un triángulo $ABC$ y un punto interior $X$ se tiene el triángulo ceviano $DEF$ con $D\in BC$, $E\in AC$ y $F\in AB$.
Entonces los puntos $P=EF\cap BC$, $Q=FD\cap CA$ y $R=DE \cap AB$ son colineales en una recta $d$.
Al punto $X$ se le llama polo trilineal de $d$ y a la recta $d$ se le llama tripolar de $X$.
Entonces los puntos $P=EF\cap BC$, $Q=FD\cap CA$ y $R=DE \cap AB$ son colineales en una recta $d$.
Al punto $X$ se le llama polo trilineal de $d$ y a la recta $d$ se le llama tripolar de $X$.
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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Gianni De Rico
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Re: Polar y polo trilineal
Algunas cosas:
- El post original decía que $X$ era el tripolar de $d$, cuando en realidad es el polo trilineal (como bien dice el título), así que le cambié eso.
- El triángulo ceviano del punto $X$ respecto al triángulo $ABC$ es el triángulo $DEF$, con $D=AX\cap BC$, $E=BX\cap CA$ y $F=CX\cap AB$, creo que valdría la pena mencionar eso en el post, porque no es una terminología tan conocida.
- Esto es un caso particular del Teorema de Desargues, lo que @BrunZo demostró es justamente la ida de Desargues (en el link que mandé lo hacen con más Menelaos, acá el Ceva que usa él es más rápido).
- @El Apache yasabes no hace falta poner un espacio antes del último signo \$ en $\LaTeX$, funciona bien igual sin hacerlo.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Re: Polar y polo trilineal
Pensé que iban a utilizar Desargues, acá dejo una demo de este estilo.
Por la definición de $P$ y $R$ es trivial que $\triangle FXD$ y $\triangle PBR$, están en perspectiva respecto de $E$, luego por el teorema de Desargues, las intersecciones de $PR$ y $FD$, de $BR$ y $XD$, y por ultimo, de $PB$ y $FX$, están alineadas. Ya tenemos que la intersección de $BR$ y $XD$ es $A$, y que ademas, la intersección de $FB$ y $FX$ es $C$, por tanto $FD$ intersectado con $PR$ debe estar sobre $AC$, como $FD$ ya intersecta a esta ultima recta en $Q$, tendriamos que $P, Q$ y $R$ están alineados.
Por la definición de $P$ y $R$ es trivial que $\triangle FXD$ y $\triangle PBR$, están en perspectiva respecto de $E$, luego por el teorema de Desargues, las intersecciones de $PR$ y $FD$, de $BR$ y $XD$, y por ultimo, de $PB$ y $FX$, están alineadas. Ya tenemos que la intersección de $BR$ y $XD$ es $A$, y que ademas, la intersección de $FB$ y $FX$ es $C$, por tanto $FD$ intersectado con $PR$ debe estar sobre $AC$, como $FD$ ya intersecta a esta ultima recta en $Q$, tendriamos que $P, Q$ y $R$ están alineados.
amo a mis perritos