Lema para el punto simediano

El Apache yasabes

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Lema para el punto simediano

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Es una propiedad que vi por ahí pero no lo demostré así que si alguien puede compartir una, buenísimo.

Dado el triángulo $ABC$, sean $N$ el punto medio de la altura correspondiente al vértice $A$, $M$ el punto medio de $BC$ y $S$ el punto simediano, entonces los puntos $M, N, S$ son colineales.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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Gianni De Rico

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Re: Lema para el punto simediano

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Nota: El punto simediano es también conocido como el Punto de Lemoine del triángulo.

La demo:
Spoiler: mostrar
Sean $D$ el pie de altura desde $A$, $E$ el pie de la simediana desde $A$, $F$ el punto de intersección de las tangentes por $B$ y $C$ a $\odot ABC$, $G$ el punto de intersección de $CS$ con $\odot ABC$, y $S'=MN\cap AE$.
Tenemos entonces que $F$ está en la $A$-simediana y que $FM$ es la mediatriz de $AB$, con lo que es paralela a $AD$. Ahora\begin{align*}\{A,E;S,F\} & \underset{C}{=}\{A,B;G,C\} \\
& =-1 \\
& =\{A,D;N,\infty \} \\
& \underset{M}{=}\{A,E;S',F\}
\end{align*}de modo que $S\equiv S'$, entonces $M,N,S$ son colineales.
1  
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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