ÁREA MÁXIMA DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES INSCRIPTO EN UNA CIRCUNFERENCIA
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agleidhold
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ÁREA MÁXIMA DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES INSCRIPTO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Estaba yo navegando en la maravillosa página de Internet llamada YouTube, cuando me crucé con un video del gran Matemáticas con Juan. Este presenta un problema en el que pide encontrar cual el la medida de la base de un triángulo isósceles inscripto a una circunferencia de longitud $16\pi \:\text{cm}$. Me pareció muy interesante y decidí compartirlo por acá pero redoblando la apuesta, y encontrando cuál es esta medida pero para una circunferencia de radio $r$.
Acá llamamos $2x$ a la longitud de la base ($AB$), $y$ a la altura del triángulo ($DE$) y $r$ al radio de la circunferencia circunscripta a $ABD$. Donde vemos que el área es $xy$. También podemos ver que con el centro de la circunferencia y la mitad de la base se nos forma un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y-r$, e hipotenusa $r$. De donde llegamos, por pitágoras, a que $$x^2+(y-r)^2=r^2\Rightarrow x=\sqrt{r^2-y^2+2ry-r^2}\Rightarrow x=\sqrt{2ry-y^2}$$
Ahora podemos remplazar $x$ en el área, transformándola en una función respecto de $y$:
$$A(y)=y\sqrt{2ry-y^2}$$
Ahora lo que nosotros queremos encontrar el valor máximo que toma esta función (que es claro que tiene que existir ya que estamos trabajando con una función que tiene como dominio un subconjunto finito de los reales y no hay ninguna asíntota). Este máximo lo vamos a encontrar cuando la derivada de la función en ese punto sea $0$ (aunque luego tendremos que recurrir a algún método para comprobar que sea un máximo y no un mínimo). Pero hay un problema, que es que calcular la derivada de esta función es un poco largo (y después vamos a tener que calcular la segunda derivada que es más larga aún). Así que para arreglar este problema vamos a usar el hecho de que esta función tiene como codominio un subconjunto de los reales no negativos. O sea, si evaluamos en cualquier valor del dominio a la función $A$ nos dará un valor positivo.
Y, de qué nos sirve esto? Esto significa que los valores máximos y mínimos de $A$, serán los máximos y mínimos de $A^2$. Entonces ahora vemos que $A^2(y)=2ry^3-y^4$ que es muchísimo más fácil de derivar y lo podemos hacer casi al ojo. Donde resulta
$$\frac{dA^2}{dy}=6ry^2-4y^3$$
Ahora es claro que esta será $0$ cuando $y=\frac{3}{2}r$ o $y=0$, pero por razones obvias descartamos la segunda.
Pero ahora tenemos que comprobar que este valor sea un máximo y no sea un mínimo. Pero por suerte tenemos una forma de hacerlo, y es evaluando este valor en la segunda derivada de la función y si el resultado que nos da es menor a $0$ el valor que tenemos es un máximo. Fácilmente podemos ver que
$$\frac{d^2A^2}{dy^2}=12ry-12y^2$$
Ahora evaluamos en $y=\frac{3}{2}r$ y obtenemos $18r^2-27r^2=-9r^2$. Que claramente es un valor negativo, por lo que $y=\frac{3}{2}r$ es un valor máximo. Ahora solo tenemos que saber qué valor toma $x$ y listo. Sabemos que $x=\sqrt{2ry-y^2}$ por lo que $x=\frac{\sqrt{3}}{2}r$. Pero todavía no terminamos la resolución, ya que el lado mide $2x$, por lo que lo que mide la base de un triángulo inscrito en una circunferencia de radio $r$ de forma tal que el área del triángulo es máxima es $$\sqrt{3}r$$
Acá llamamos $2x$ a la longitud de la base ($AB$), $y$ a la altura del triángulo ($DE$) y $r$ al radio de la circunferencia circunscripta a $ABD$. Donde vemos que el área es $xy$. También podemos ver que con el centro de la circunferencia y la mitad de la base se nos forma un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y-r$, e hipotenusa $r$. De donde llegamos, por pitágoras, a que $$x^2+(y-r)^2=r^2\Rightarrow x=\sqrt{r^2-y^2+2ry-r^2}\Rightarrow x=\sqrt{2ry-y^2}$$
Ahora podemos remplazar $x$ en el área, transformándola en una función respecto de $y$:
$$A(y)=y\sqrt{2ry-y^2}$$
Ahora lo que nosotros queremos encontrar el valor máximo que toma esta función (que es claro que tiene que existir ya que estamos trabajando con una función que tiene como dominio un subconjunto finito de los reales y no hay ninguna asíntota). Este máximo lo vamos a encontrar cuando la derivada de la función en ese punto sea $0$ (aunque luego tendremos que recurrir a algún método para comprobar que sea un máximo y no un mínimo). Pero hay un problema, que es que calcular la derivada de esta función es un poco largo (y después vamos a tener que calcular la segunda derivada que es más larga aún). Así que para arreglar este problema vamos a usar el hecho de que esta función tiene como codominio un subconjunto de los reales no negativos. O sea, si evaluamos en cualquier valor del dominio a la función $A$ nos dará un valor positivo.
Y, de qué nos sirve esto? Esto significa que los valores máximos y mínimos de $A$, serán los máximos y mínimos de $A^2$. Entonces ahora vemos que $A^2(y)=2ry^3-y^4$ que es muchísimo más fácil de derivar y lo podemos hacer casi al ojo. Donde resulta
$$\frac{dA^2}{dy}=6ry^2-4y^3$$
Ahora es claro que esta será $0$ cuando $y=\frac{3}{2}r$ o $y=0$, pero por razones obvias descartamos la segunda.
Pero ahora tenemos que comprobar que este valor sea un máximo y no sea un mínimo. Pero por suerte tenemos una forma de hacerlo, y es evaluando este valor en la segunda derivada de la función y si el resultado que nos da es menor a $0$ el valor que tenemos es un máximo. Fácilmente podemos ver que
$$\frac{d^2A^2}{dy^2}=12ry-12y^2$$
Ahora evaluamos en $y=\frac{3}{2}r$ y obtenemos $18r^2-27r^2=-9r^2$. Que claramente es un valor negativo, por lo que $y=\frac{3}{2}r$ es un valor máximo. Ahora solo tenemos que saber qué valor toma $x$ y listo. Sabemos que $x=\sqrt{2ry-y^2}$ por lo que $x=\frac{\sqrt{3}}{2}r$. Pero todavía no terminamos la resolución, ya que el lado mide $2x$, por lo que lo que mide la base de un triángulo inscrito en una circunferencia de radio $r$ de forma tal que el área del triángulo es máxima es $$\sqrt{3}r$$
Hermoso problema, verdad?