Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos

[Ivan]

Estas propiedades son extremadamente útiles. En algún momento escribiré las demostraciones.

arco capaz.png

Recta tangente:
Decimos que una recta es tangente a una circunferencia si la corta en un solo punto.
Sea [math]B un punto en una circunferencia de centro [math]O.
Si una recta [math]r es tangente a una circunferencia en un punto [math]B se tiene que [math]OB\perp r. Recíprocamente, la recta perpendicular a [math]OB que pasa por [math]B es tangente a la circunferencia.

rectatangente.png

Arco capaz:
Sean [math]A, [math]B, [math]P puntos en una circunferencia de centro [math]O.
Si [math]P' es un punto del arco [math]AB que contiene a [math]P entonces [math]A\widehat{P'}B = A\widehat{P}B.
Si [math]P'' es un punto del arco [math]AB que NO contiene a [math]P entonces [math]A\widehat{P''}B=180^\circ - A\widehat{P}B.

AngulosInscriptos2.png

Ángulo central:
Además [math]A\widehat{O}B = 2 A\widehat{P}B. En particular, [math]AB es diámetro si y solamente si [math]A\widehat{P}B = 90^\circ (esto está relacionado con la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo).

AnguloCentral12.png

AnguloCentral22.png

AnguloCentral3.png

Ángulo con la tangente:
Si la recta [math]BT es tangente a la circunferencia, entonces [math]A\widehat{P}B = A\widehat{B}T.

AnguloSemiinscripto2.png

Cuadriláteros cíclicos:
Decimos que un cuadrilátero [math]ABCD es cíclico si hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices.
Si [math]ABCD es un cuadrilátero, las siguientes propiedades son equivalentes (si vale una valen las demás):

• [math]ABCD es cíclico
• [math]A\widehat{B}C + C\widehat{D}A = 180^\circ
• [math]B\widehat{C}A = B\widehat{D}A

[AgustinChenna.]

¿No tenes ejemplos de problemas que salgan con esto? Me re cuesta esto

[Ivan]

Algunas soluciones de problemas usando estas propiedades. No miré en detalle las soluciones, pero en algún momento usan estas cosas.

No se si son los mejores ejemplos, pero es lo que encontré con el buscador del foro Los traté de ordenar por dificultad.


Problema 3 - Nivel 3 - Segunda Ronda Regionales 2010
Problema 2 - Selectivo de Ibero 2001
Problema 3 - Selectivo de Ibero 2009
Problema 2 - Selectivo de IMO 2010
Problema 2 - Selectivo de Ibero 2012
Decían por ahí que es del entrenamiento de Ibero 2011
G4 - IMO Shortlist 1995

[Caro - V3]

Acá hay más:
Problema 3 - Selectivo Ibero 2011
Problema 3 - Selectivo Cono 2011
Problema 4 - IMO 2010

[Squee]

Se agradecen los aportes, la del titulo no la conocia.
Edit: No me habian cargado las imagenes por eso pense que no estaba entendiendo algo.

[JPablo]

Bueno, aprovechando la nueva función de etiquetar jaja

@Ivan ¿Vas a poner las demostraciones? A mí esto me lo enseñaron en la escuela pero nunca me lo demostraron

[Ivan]

@JPablo No lo escribo en detalle pero aunque sea dejo escrita la idea

Primero vamos a probar que si [math]A,B,P son puntos en una circunferencia de centro [math]O entonces [math]\angle AOB=2\angle APB.
Marcamos el punto [math]Q diametralmente opuesto a [math]P. Por ser radios, [math]AO=OP. Entonces [math]APO es isósceles y [math]\angle AOQ= 180^\circ - \angle AOP = 2 \angle APO. Análogamente [math]\angle BOQ= 2\angle BPO. Sumando tenemos [math]\angle AOB = \angle AOQ+ \angle BOQ= 2\angle APO +2\angle BPO= 2\angle APB.

Ahora si [math]P y [math]P' son puntos del mismo arco [math]AB, entonces [math]\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB =\angle AP'B.

Si están en arcos opuestos usando que los dos ángulos centrales suman [math]360^\circ sale que [math]\angle APB+\angle AP'B=180^\circ.


La caracterización de la recta tangente se puede probar con tramposética.

Para probar lo del ángulo con la tangente, podés marcar el pie de la perpendicular desde [math]B a [math]OT. Llamemoslo [math]Q. Tenemos [math]\angle BTQ=OTB y [math]\angle BQT=90^\circ = \angle OBT. Entonces [math]\angle BOQ= \angle BOT = \angle TBQ= \angle TBA. Haciendo alguna cuentita más con angulitos sale que [math]\angle BOA=2\angle BOQ y con eso estamos.

Con estas cosas podés probar lo de Cuadriláteros cíclicos (haciendo algún argumento tipo tramposética, cuidadosamente).

[Indecente]

.
Todos sabemos lo que es y como se hace un arco capaz.

Pero mi duda es ? por que se llama "capaz" ?, lo de "arco" es evidente, pero ? de que es "capaz" ?.

[mcrriu]

Gracias por la teoría

[ricarlos]

Pero mi duda es ? por que se llama "capaz" ?, lo de "arco" es evidente, pero ? de que es "capaz" ?.

Capaz: adj. Que tiene capacidad para contener algo.

En este caso contiene a todos los vertices del [math]\angle APB que miden [math]\alpha