Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
Estas propiedades son extremadamente útiles. En algún momento escribiré las demostraciones.
Recta tangente:
Decimos que una recta es tangente a una circunferencia si la corta en un solo punto.
Sea [math] un punto en una circunferencia de centro [math].
Si una recta [math] es tangente a una circunferencia en un punto [math] se tiene que [math]. Recíprocamente, la recta perpendicular a [math] que pasa por [math] es tangente a la circunferencia.
Arco capaz:
Sean [math], [math], [math] puntos en una circunferencia de centro [math].
Si [math] es un punto del arco [math] que contiene a [math] entonces [math].
Si [math] es un punto del arco [math] que NO contiene a [math] entonces [math].
Ángulo central:
Además [math]. En particular, [math] es diámetro si y solamente si [math] (esto está relacionado con la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo).
Ángulo con la tangente:
Si la recta [math] es tangente a la circunferencia, entonces [math].
Cuadriláteros cíclicos:
Decimos que un cuadrilátero [math] es cíclico si hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices.
Si [math] es un cuadrilátero, las siguientes propiedades son equivalentes (si vale una valen las demás):
Recta tangente:
Decimos que una recta es tangente a una circunferencia si la corta en un solo punto.
Sea [math] un punto en una circunferencia de centro [math].
Si una recta [math] es tangente a una circunferencia en un punto [math] se tiene que [math]. Recíprocamente, la recta perpendicular a [math] que pasa por [math] es tangente a la circunferencia.
Arco capaz:
Sean [math], [math], [math] puntos en una circunferencia de centro [math].
Si [math] es un punto del arco [math] que contiene a [math] entonces [math].
Si [math] es un punto del arco [math] que NO contiene a [math] entonces [math].
Ángulo central:
Además [math]. En particular, [math] es diámetro si y solamente si [math] (esto está relacionado con la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo).
Ángulo con la tangente:
Si la recta [math] es tangente a la circunferencia, entonces [math].
Cuadriláteros cíclicos:
Decimos que un cuadrilátero [math] es cíclico si hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices.
Si [math] es un cuadrilátero, las siguientes propiedades son equivalentes (si vale una valen las demás):
- [math] es cíclico
- [math]
- [math]
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Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
-
AgustinChenna.
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- Nivel: Ñandú
Re: Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
¿No tenes ejemplos de problemas que salgan con esto? Me re cuesta esto
Re: Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
Algunas soluciones de problemas usando estas propiedades. No miré en detalle las soluciones, pero en algún momento usan estas cosas.
No se si son los mejores ejemplos, pero es lo que encontré con el buscador del foro Los traté de ordenar por dificultad.
Problema 3 - Nivel 3 - Segunda Ronda Regionales 2010
Problema 2 - Selectivo de Ibero 2001
Problema 3 - Selectivo de Ibero 2009
Problema 2 - Selectivo de IMO 2010
Problema 2 - Selectivo de Ibero 2012
Decían por ahí que es del entrenamiento de Ibero 2011
G4 - IMO Shortlist 1995
No se si son los mejores ejemplos, pero es lo que encontré con el buscador del foro Los traté de ordenar por dificultad.
Problema 3 - Nivel 3 - Segunda Ronda Regionales 2010
Problema 2 - Selectivo de Ibero 2001
Problema 3 - Selectivo de Ibero 2009
Problema 2 - Selectivo de IMO 2010
Problema 2 - Selectivo de Ibero 2012
Decían por ahí que es del entrenamiento de Ibero 2011
G4 - IMO Shortlist 1995
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
Acá hay más:
Problema 3 - Selectivo Ibero 2011
Problema 3 - Selectivo Cono 2011
Problema 4 - IMO 2010
Problema 3 - Selectivo Ibero 2011
Problema 3 - Selectivo Cono 2011
Problema 4 - IMO 2010
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
Re: Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
Se agradecen los aportes, la del titulo no la conocia.
Edit: No me habian cargado las imagenes por eso pense que no estaba entendiendo algo.
Edit: No me habian cargado las imagenes por eso pense que no estaba entendiendo algo.
Re: Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
Bueno, aprovechando la nueva función de etiquetar jaja
@Ivan ¿Vas a poner las demostraciones? A mí esto me lo enseñaron en la escuela pero nunca me lo demostraron
@Ivan ¿Vas a poner las demostraciones? A mí esto me lo enseñaron en la escuela pero nunca me lo demostraron
Re: Arco Capaz - Cuadriláteros Cíclicos
@JPablo No lo escribo en detalle pero aunque sea dejo escrita la idea
Primero vamos a probar que si [math] son puntos en una circunferencia de centro [math] entonces [math].
Marcamos el punto [math] diametralmente opuesto a [math]. Por ser radios, [math]. Entonces [math] es isósceles y [math]. Análogamente [math]. Sumando tenemos [math].
Ahora si [math] y [math] son puntos del mismo arco [math], entonces [math].
Si están en arcos opuestos usando que los dos ángulos centrales suman [math] sale que [math].
La caracterización de la recta tangente se puede probar con tramposética.
Para probar lo del ángulo con la tangente, podés marcar el pie de la perpendicular desde [math] a [math]. Llamemoslo [math]. Tenemos [math] y [math]. Entonces [math]. Haciendo alguna cuentita más con angulitos sale que [math] y con eso estamos.
Con estas cosas podés probar lo de Cuadriláteros cíclicos (haciendo algún argumento tipo tramposética, cuidadosamente).
Primero vamos a probar que si [math] son puntos en una circunferencia de centro [math] entonces [math].
Marcamos el punto [math] diametralmente opuesto a [math]. Por ser radios, [math]. Entonces [math] es isósceles y [math]. Análogamente [math]. Sumando tenemos [math].
Ahora si [math] y [math] son puntos del mismo arco [math], entonces [math].
Si están en arcos opuestos usando que los dos ángulos centrales suman [math] sale que [math].
La caracterización de la recta tangente se puede probar con tramposética.
Para probar lo del ángulo con la tangente, podés marcar el pie de la perpendicular desde [math] a [math]. Llamemoslo [math]. Tenemos [math] y [math]. Entonces [math]. Haciendo alguna cuentita más con angulitos sale que [math] y con eso estamos.
Con estas cosas podés probar lo de Cuadriláteros cíclicos (haciendo algún argumento tipo tramposética, cuidadosamente).
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Arco Capaz Cuadrilateros Ciclicos
.
Todos sabemos lo que es y como se hace un arco capaz.
Pero mi duda es ? por que se llama "capaz" ?, lo de "arco" es evidente, pero ? de que es "capaz" ?.
Todos sabemos lo que es y como se hace un arco capaz.
Pero mi duda es ? por que se llama "capaz" ?, lo de "arco" es evidente, pero ? de que es "capaz" ?.
Re: Arco Capaz Cuadrilateros Ciclicos
Capaz: adj. Que tiene capacidad para contener algo.Indecente escribió: Pero mi duda es ? por que se llama "capaz" ?, lo de "arco" es evidente, pero ? de que es "capaz" ?.
En este caso contiene a todos los vertices del [math] que miden [math]
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.